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稳定性模型食饵捕食者地中海鲨鱼问题.pptx


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教案教学目的:通过地中海鲨鱼问题,了解食饵——捕食者模型。引入相轨线概念,讨论平衡点。重点:线性规划思想、概念。难点:相轨线概念,及此方法讨论平衡点。手段:通过意大利生物学家UmbertoD’Ancona提出的地中海鲨鱼问题,给出食饵——捕食者微分方程组模型。不求解方程组,通过相轨线概念,讨论平衡点。备注:1。鼓励学生发现实际生活中的问题,做社会实践。。23:45地中海鲨鱼问题20世纪20年代中期,意大利生物学家UmbertoD’Ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港,人们捕获的鱼类中,鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加(见表3-2),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然,战争使捕鱼量下降,食用鱼应该增加,鲨鱼等软骨鱼也随之增加,但为何其比例大幅度增加呢?年代19141915191619171918百分比(%)(%)’Ancona求助于他的同事——著名的意大利数学家VitoVolterra,希望他能对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型。后来,Volterra成功地利用微分方程组解释了这一现象。建立微分方程组模型设食用鱼的数量为x(t),鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t),根据鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实,假设a为食饵(食用鱼)的自然增长率,b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数,c为捕食者死亡率,f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组:(1)bx为单位鲨鱼捕食量;fy为单个食饵对捕食者的供养能力。其中a、b、c、f皆为正常数。方程组(1)给出了在没有捕鱼的情况下,软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。平衡点与稳定性一般情况下,我们并不想知道方程组(1)中x(t)、y(t)的变化规律而只关心t→+∞时x(t)、y(t)的变化趋势,因此,只要讨论方程组(1)的平衡点及稳定性即足矣。平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解,仅当limx(t)=x0且limy(t)=y0时,我们说平衡点P0是稳定的。称x=x0,y=y0为方程组(2)的平衡解。(2)注意到,方程组(1)有两组平衡解x(t)=0,y(t)=0及x(t)=c/f,y(t)=a/b。对第一组平衡解,没有讨论的实际意义。我们在x>0,y>0的范围内对方程组(1)进行讨论。用相轨线分析平衡点P(c/f,a/b)的稳定性。对于x≠0,y≠0,(1)两式相除,得(3)易解得(3)式的解为(4)其中,K为任意常数,由初始条件确定。定理1对于x>0,y>0,方程(4)给出了一族封闭曲线(相轨线),且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点。由定理1,当x(0)及y(0)皆为正数时,方程组(1)的解x(t),y(t)都是时间t的周期函数,设周期为T>0。方程(4)无解析解,数值积分求解,绘制如下图注意到平衡点P(c/f,a/b),在图中分析得这是稳定的一种形式。捕食者与食饵的数量~x(t)和y(t)一个周期内的平均值D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数,为了比较,我们必须算出方程组(1)的解x(t)、y(t)的平均值。我们易算出由y(t)的周期性,y(0)=y(T),得同理(6)(5)捕食者死亡率下降或食饵对捕食者供养能力提高将导致食饵减少食饵自然增长率下降或捕食者掠取食饵能力提高将使捕食者减少由方程组中第二个方程知道,这两者都使捕食者y增多;再看第一个方程,知y多将导致食饵x减少。就是平衡点!考虑捕鱼对方程组(1)的影响。假设捕鱼使食用鱼按ε*x(t)的速度减少(ε>0为常数),鲨鱼等软骨鱼按ε*y(t)的速度减少。这样,方程组(1)将变为(7)(8)请同学们仿照前页,求(7)式的平均解与(5)(6)式比较,我们发现,适当地增加捕食量将使食用鱼的数量增加,而使鲨鱼等软骨鱼的数量减少。反之,我们易得出,降低捕鱼量,将使鲨鱼等软骨鱼的数量增加,而使食用鱼的数量减少。其他类似问题的理解利用上述Volterra原理还可解释某种杀虫剂的相反效果。1968年,介壳虫偶然从澳大利亚传入美国,威胁着美国的柠檬生产。随后,美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来,DDT被普通使用来消灭害虫,柠檬果园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料,DDT也同样杀死澳洲瓢虫。结果事与愿违,介壳虫增加起来,澳洲瓢虫反倒减少了。按以上的分析,这种结果是极其自然的。模型扩展问题:如果食饵——捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,并求平衡点。要求:模型方程建立不要求同学们做到,理解答案

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  • 时间2020-02-11