《基本不等式》教案.doc

《基本不等式》教学设计教材:人教版高中数学必修5第三章一、,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想;、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力;,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想;,通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用,提升解决问题的能力,,将知识与能力、过程与方法、、教学重点和难点重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;难点:在几何背景下抽象出基本不等式,、教学过程:,几何引入如图是在北京召开的第24届国际数学家大会会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明,体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗?,,4个直角三角形的面积之和,,:先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别为和(),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?通过学生动手操作,探索发现:,得出结论根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论:若,,,教师演示几何画板,通过展示图形动画,使学生直观感受不等关系中的相等条件,从而进一步完善不等式结论:(1)若,则;(2)若,(作差法):,当时取等号.(在该过程中,可发现的取值可以是全体实数)证法二(分析法):由于,于是要证明 ,只要证明 ,即证 ,即 ,该式显然成立,所以,,展示课题内容基本不等式:若,则(当且仅当时,等号成立)若,则(当且仅当时,等号成立)深化认识:称为的几何平均数;称为的算术平均数基本不等式又可叙述为:,相见益彰探究三:如图,是圆的直径,点是上一点,,.过点作垂直于的弦,:由于Rt中直角边斜边,于是有当且仅当点与圆心重合时,:当时,(当且仅当时,等号成立)(进一步加强数形结合的意识,提升思维的灵活性),巩固提高例1.(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?(通过例1的讲解,总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化)对于,(1)若(定值),则当且仅当时,有最小值;(2)若(定值)