第三章曲线的凹凸与拐点.ppt

曲线的凹凸与拐点前面我们介绍了函数的单调性和极值,这对于了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB如右图所示L1,L2 ,L3虽然都是从A点单调上升到B点,但它们的弯曲方向却不一样。L1是“凸”弧,L2是“凹”弧,L3既有凸弧,也有凹弧,这和我们日常****惯对凹凸的称呼是一致的。一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy?图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy?1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC定义;),()(,2)()()2(,,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxfxfxfxxfxxbabaxf???;),()(,2)()()2(,,),(212121内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对baxfxfxfxxfxxba???;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy?xyo)(xfy?abAB递增)(xf?abBA0???y递减)(xf?0???y定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf??????证明2121),,(,)2(xxbaxx???0210210,2xxxxhxxx??????记上?对],[],,[)(2001xxxxxf????L—??,?hfxfxf)()()(110????)(011xx???hfxfxf)()()(202????)(220xx??????减,?hffxfxfxf)]()([)]()([)(221210???????????0)(???xf?单调减?],[)(baxf??0)()(2121??????????ff?0)]()([)(2210????xfxfxf2)()(22121xfxfxxf??????????这?证明了?是上凸的?),()(baxf???证?1???曲线xy?解,32xy???,6xy????,?0?x,0???y?凸的??曲线]0,(????,?0?x,0???y?凹的??曲线),0[???.)0,0(点是曲线?凸?凹的??点?意到,三、曲线的拐点及其求法??曲线上凹凸的??点称? 如果)(xf在),(00????xx内存在二阶导数,则点??)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0"?xf.????注意:?点?的?线???点???曲线.???点的??证,)(????xf?,)(?????xf??,])([)(0??????xxfxf?????,))(,(00是?点?xfx?,)(0??极值?xxf??,?????函数??)(????xf方法1:,0)(,)(00???xfxxf?的?????????函数;))(,(,)()1(000???点点?????xfxxfx??.))(,(,)()2(000不是?点点不?????xfxxfx???凸的??的?点??曲线???xxy解),(:????D?,121223xxy???).32(36????xxy,0???y?.32,021??xx?x)0,(??),32(??)32,0(032)(xf??)(xf???00凹的凸的凹的?点?点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(????凹凸???