高考数学文化素养型题.doc

数学题----文化素养型1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我载有求“囷盖”的术:置如其周,,,计算其体积V的近似公式V≈,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. :由题意可知:L=2πr,即r=,圆锥体积V=Sh=πr2h=π·h=L2h≈L2h,故≈,π≈,故选B.【答案】,,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是() A. B. C. D.【解析】设正方形边长为,则圆半径为则正方形的面积为,圆的面积为,图中黑色部分的概率为则此点取自黑色部分的概率为故选B【答案】B4.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE、DF、BD、BE.(1)证明:PB⊥,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,:法一(1)证明因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥⊂平面PCD,所以BC⊥=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥∩BC=C,所以DE⊥⊂平面PBC,所以PB⊥⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)解如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥⊥底面ABCD,所以PD⊥DG,而PD∩PB=P,所以DG⊥∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得λ=.所以==.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.法二(1)证明如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ,1,-1),点E是PC的中点,所以E,=,于是·=0,即PB⊥⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥=(0,1,-1),·=0,则DE⊥PC,所以DE⊥⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)解由PD⊥平面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量;由(1)知,PB⊥平面DEF,所以=(-λ,-1,1),则cos===,解得λ=.所以==.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题,“今有菱草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,问底子(每层三角形边菱草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层三束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层菱草束数),:由题意,第n层菱草数为1+2+…+n=,∴1+3+6+…+=680,即为=n(n+1)(n+2)=680,即有n(n+1)(n+2)=15×16×17,∴n=15,∴=120.【答案】120 ,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( ) :按照图中的程序计