【精品】群论在固体物理中的运用(讲稿)p104 141 讲稿.doc

【精品】群论在固体物理中的运用(讲稿)p104 141 讲稿.doc第二章群表示理论§(1)定义y=a®/3例如:Q]2严21^22丿P=021J03**********J023033丿(如(0)如(0)、贝U7di(0)也2(0)丿O]2011。12012。12013Q]2021Q]20222023。12031Q]2032。12033©22011。22012©22013。22021。22022。22023©22031。22032。2203333AA122aa33维数是nXm定理若了=Q00, 贝lj有vv={a®B)(a®B)={aa)®(00)直积表示定义:群G的两个表示,表示矩阵为Da(A),Db(A)则表示矩阵的直积,也是群G的一个表示Da(A)®Db(A)称为直积表示(一般是可约表示)。直积表示的特征标z= (-6)直积表示的约化(-6)即 幻二丄工*仏)SReG直积表示的基函数若直积表示D(A)=D^^C^CA),不可约表示的基函数分别为D1: {%")、輕'(厂)、…、转,厂)}D: {0/(厂)、0々)、…、%(厂)}则直积表示有厶弘个基函数,分别是■%=0怂 (-10)§:§={E,A2,A3,...,Aga}Gb={E,B2,B3,…,Bgb}则3孔阶的直积群G=Ga®Gb={EGb,AzGb,A3G13,...,AgaGb}={E,B2,..Bgb,A2,A2B2,・・・AzBgb,...,AgaBgb}(1) 两个可对易群的表不的直积,是直积群的表示。(2) 直积群表示的特征标,是可对易群的表示的特征标的乘积*4氏)=*(£)•*(乞)(3) 若D,和Db分别是群Q和Gb的不可约表示,则D=Da®Db是直积群G=Ga®Gb的不可约表示。(4) 若群G=Ga®Gb,则群G的所有不可约表不,是Ga与Gb的所有不可约表不的直积。例如:(a)群C2h={E,C2,I,血二%}C2h=C2®CiEc2EIDfll11Dbl11Da21-1Dh21-1则直积群的不可约表不和特征标表为Ec2I6Z)1=D“01111D2=DaiDb211-1-1D3=Da2Dbx1-11-1D4=Da2Db21-1-11(b) o严og其中O群是立方体的完全转动群。(5)直积群表示的基函数Da: {%(〃、02(厂)、…、仰“(〃}Db: {©(厂)、0(厂)、…、0"}则直积表示有个基函数,分别是比较:直积表示D(A)=Di(A)&D(A)的基函数不可约表示的基函数分别为D1:WO、輕'(厂)、…、仇3}D: {0/(厂)、宓(厂)、…、0:(厂)}则直积表示有厶弘个基函数,分别是Wmn=叽机(-10)§(1)复共轨表示若Dg是群G的一个表示,例如表示矩阵为D(R)=%]+彷111。21+彷21%。+ib\°'°22+彷22丿其复共轨矩阵为D*(A)='5一%41一%。12-a22_%22丿这一组矩阵记作Dg*。可以证明:(a) Dg*也是群G的一个表示;(b) 若是群G的一个不可约表示,贝!JD\s*也是群G的一个不可约表示;(c) 若Dg是一个幺正表示,即DXR)D(R*I°,则Dg*也是一个幺正表示。表示Dg*称作群G的复共轨表示。(2)实表示(a)若表示Dg*与Dg等价,而且都等价于同一组实数的表示矩阵,那么,表示Dg就称为实表示。Dg*与Dg等价等价的判定(例如):ai2+血2、°220*的=°22—%22丿若等价,则(%1+彷]])+(°22+「方22)=(%1一血1)+(°22一彷22)即 2(%+体2)=0特殊的:对角元为相同实数的两个复共轨矩阵,一定是等价的。(b)若表示Dg*与Dg等价,但却不等价于同一组实数的表示矩阵,或者说不等价于一实表示,那么,表示Dg不是实表示。定理1 一若Dg与Dg*是群G的等价的不可约表不,即存在矩阵C,使得D(R)*=CD(R)C1,X/R&G(-1)那么c=±c相似变换矩阵一定是对称的或反对称的;Dg为实表示不是实表示定理2设群G的不可约表示Dg的特征标为肮,那么g, D〜C=C,D为实表示0, D与D*不等价RwG—g, D〜D C——C, 是实表不这是群G的不可约表示Dg与Dg*是否等价、是否为实表示的一个判据。例如:D3群工力(疋)=Z(£2)+Z(A2)+z(52)+z(C2)+Z(D2)+Z(F2)RwG=力(Q+力(E)+力(E)+力(E)+/(F)+z(D)恒等表示1>(疋)=6ReG二维表示力(E)=2,Z(F)=Z(D)=-1工如=6RS所以,D3群的上述表示与其复共轨是等价的,并且与一个实矩阵表示等价,是实表示。又例如:一个3阶群的一维表示为1,G),——其屮co=e'.对应的复共轨表示为