Finsler流形的曲率拓扑.pdf

浙江大学博士学位论文Finsler流形的曲率与拓扑姓名:赵唯申请学位级别:博士专业:基础数学指导教师:沈一兵201105摘要\『\)在1854年所作的具有历史意义的就职演说中已考虑了这种情况,但鉴于没有二次型限制后计算上过于复杂,他将研究限于二次型度量的几何,,,,我们称其:,,、(陈省身1、、,,在陈省身先生的大力倡导下,在鲍大卫(),沈忠民()等人的努力下,,:测地线理论(【BcS】),比较定理([BCS,Shl,Sh2,xⅥ),调和映射(【HS,MY,SY】),Gauss-定理(fBCl)、。分别探讨了Finsler流形的Gromov预紧性定理、:Finsler度量,Gromov-Hausdorff距离,Gromov预,紧性定理,Berger-Kadzan定理,基本群,-Hausdort傩离。(fBBI,GLP,PPl]),即:对任意一族紧度量空间,如果满足:它们的直径有一致的上界,且对任意∈>0,存在常数N(e)>0,使得对该族中的每个度量空间都有一个势(即元素个数)不大于Ⅳ(E)的E网,那么这一度量空间族在Gromov-Hausdorff拓扑下是预紧的,即此族中的任意序列都含有一(相对Gromov-Hausdor础巨离的),就得到关于黎曼几何中的预紧性定理(fCI,GLP,PPl]),即:设{(尬,仇))是一族紧致黎曼流形,i曲率满足RiCM,≥(钆一1)k,直径满足=diam(Mi)≤D,那么{(坛,鳜))在Gromov-Hausdorff拓扑下是预紧的.’如果Finsler度量F(x,y)满足条件F(x,一Y)=F(x,可),则称为是可反的(reversible).由于可反的Finsler流形也是通常意义下的度量空间,沈忠民利用Finsler流形上的体积比较定理得到了关于可反的Finsler流形的预紧性定N([Shl,Sh2]),即:设{(必,只))是一族可反的紧致Finsler流形,i曲率满足RicM,≥(n-1)k,S曲率满2:IIS.,II≤(?2--1)九,直径满足=diam(Mi)≤D,那么{(坛,E))在Gromov-~般的Finsler流形,由于其度量未必是可反的,,Finsler度量给出的向前(或向后)球拓扑却和流形本身的拓扑是一致的(『BCSl),,我们给出广义度量空间的定义:一个广义度量空间是一偶对(X,d),其中X是一集合,d:X×X—R+∞’}是一函数,称之为度量,且对任意z,Y,z∈X,满足以下两个条件:(i)d(x,Y)≥0,等号成立的充要条件是兮z=秒;(ii)d(x,Y)+d(y,z)≥d(x,z).然后,我们定义关于z∈x的向前(或向后)￡一球为磁(s):={可∈XId(x,Y)<￡)(或B;(￡):={可∈Xld(y,z)<￡)).一子集Ucx,如果满足:对任意点X∈U,在U内存在z的一向前争球,,,所以定义可反系数(reversibility)来刻画对称性:(