2020年高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全).doc

专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1.【陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得。设x轴上的定点为,可得,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。解得。∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)证明:由题意设直线的方程为,由消去y整理得,设,,要使其为定值,需满足,:解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;(2)从特殊位置入手,找出定点,.【四川省成都市第七中学-学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线(为常数)交于不同的两点,当时,弦的长为.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点的直线交抛物线于另一点,且直线经过点,判断直线是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】(1);(2)直线过定点【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案;(2)由(1)可设,则,则;同理:.由在直线上(1);由在直线上将(1)代入(2)将(2)代入方程,即可得出直线过定点.(2)设,则,则即;同理:;.由在直线上,即(1);由在直线上将(1)代入(2)将(2)代入方程,易得直线过定点3.【四川省成都市第七中学-学年高二上学期半期考】已知抛物线过点,是上一点,斜率为的直线交于不同两点(不过点),且的重心的纵坐标为.(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标;(2)记直线的斜率分别为,求的值.【答案】(1)方程为;其焦点坐标为(2)【解析】试题分析;(1)将代入,得,可得抛物线的方程及其焦点坐标;(2)设直线的方程为,将它代入得,利用韦达定理,结合斜率公式以及的重心的纵坐标,化简可的值;因为的重心的纵坐标为,所以,所以,所以,所以,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的直线交椭圆于两点,交直线于点,若,,求证:为定值.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,得到关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.(Ⅱ)由题意直线过点,且斜率存在,设方程为,将代人得点坐标为,由,消元得,设,,则且,方法一:因为,,且与异号,,,,,且与异号,,,所以,为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线过点,在设方程时,往往设为,.【四川省绵阳南山中学-学年高二上学期期中考】设抛物线:,为的焦点,过的直线与相交于两点.(1)设的斜率为1,求;(2)求证:是一个定值.【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;(2)证明:设直线的方程为,由得∴,,∵,,∴:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,.【内蒙古包头市第三十三中-学年高一下学期期末】已知椭圆C:的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;  (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1),(2)O到直线的距离为定值.【解析】试题分析:(1)根据焦点和离心率列方程解出a,b,c;(2)对于AB有无斜率进行讨论,设出A,B坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算;有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)=0代入,得4m2=3k2+3原点到直线AB的距离,当AB的斜率不存在时,,可得,.点睛:本题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,,.【四川省成都市石室中学-学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为,为坐标原点,点