2020年《抛物线》典型例题12例(含标准答案)资料.doc

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1)(2)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,:(1),∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:(2)原抛物线方程为:,①当时,,抛物线开口向右,∴焦点坐标是,准线方程是:.②当时,,抛物线开口向左,∴焦点坐标是,准线方程是:.综合上述,当时,抛物线的焦点坐标为,准线方程是:.典型例题二例2若直线与抛物线交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,:,故也可利用“作差法”:设、,则由:可得:.∵直线与抛物线相交,且,则.∵AB中点横坐标为:,解得:或(舍去).故所求直线方程为:.解法二:设、,:,即.,故或(舍去).则所求直线方程为:.典型例题三例3求证::,只须证明,则以AB为直径的圆,:,作于,则由抛物线的定义可知:在直角梯形中:,故以AB为直径的圆,:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,(1)设抛物线被直线截得的弦长为,求k值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,:(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高,:(1)由得::,即(2),底边长为,∴三角形高∵点P在x轴上,∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h,即或,即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).典型例题五例5已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过A且垂直于l的直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,:要证P的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A为定点,l为定直线,为我们提供了利用定义的信息,:如图所示,连结PA、PN、:PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.∴:到定点A的距离与到定直线的距离相等,,F为C的焦点,求证:.分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,,巧妙运用韦达定理,也能够用抛物线的定义与平面几何知识,:,若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时,则有,.若线段所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为:,:①②根据抛物线定义有:则请将①②代入并化简得:证法二:如图所示,设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、,且不妨设,又设点在、上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,又∽,,过焦点F的弦AB的倾斜角为,求证::此题做法跟上题类似,:抛物线的焦点为,过焦点的弦AB所在的直线方程为:由方程组消去y得:设,则又即证法二:如图所示,分别作、:于是可得出:,它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆相交于不同的两点,求(1)AB的倾斜角的取值范围.(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点,:由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线,AB为抛物线的焦点弦,设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点,可求出k的取值范围,从而可得的取值范围,求CD中点M的轨迹方程时,可设出M的坐标,:(1),从而∴曲线C是抛物线,,若k不存在,则直线AB与无交点.∴:设A、B坐标分别为、,则:∵弦AB的长度不超过8,即由得:∵AB与椭圆相交于不同的两点,由和可得:或故或又,∴所求的取值范围是:或(2)设CD中点、、由得::∴所求轨迹方程为:典型例题九例9 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动,求的