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网络本科数学第二章作业.doc

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1、设则对任何可测集有证明: 由Fatou定理有……(1),若存在,则……(*)于是有= =……(2)综合(1)(2),得即∴=:,∴∴,且对应用Fatou定理∵,即∴=∴∴,,: 由Fatou定理有……(1),若存在,则……(*)于是有= =……(2)综合(1)(2),得即∴=,,,,即,即于是,注意到是单调下降集列,如果能够证明当充分大时,,(Egorov定理强调全空间是有限测度,关键就用在自动使,现在来考虑还没用上的已知条件:,我们就可以立即想到L-控制收敛定理成立,,就有使当一切,有:即,、设,:由函数,从而由此“”又+ 由从而.“”若,又由控制收敛定理知:.[0,1]上的有界可测函数,:R→R可测,,,且满足,>2,证f在上连续,由Luzin定理,取闭集使得,,有,当时,.下面证:当,且时,也有,记,今证必有,.∵∴∴∴∴对若则∴上连续,.

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