2020年直线、平面垂直的判定及其性质资料.doc

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定如果直线和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,;平面叫直线的垂面;垂线和平面的交点叫垂足。要点诠释:(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线”不同,注意区别。(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。(3)若,则。判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。符号语言:特征:线线垂直线面垂直要点诠释:(1)判定定理的条件中:“平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视。(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要。知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。要点诠释:(1)直线与平面相交但不垂直,直线在平面的射影是一条直线。(2)直线与平面垂直射影是点。(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。(4)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,它们所成的角是0°的角。知识点三、二面角平面内的一条直线把平面分成两部分,,这两个半平面叫做二面角的面。表示方法:棱为、,也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点,,那么这个二面角记作二面角或。在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条构成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小能够用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,。知识点四、平面与平面垂直的定义与判定两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直。表示方法:平面与垂直,记作。画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。如图: 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。符号语言:图形语言: 特征:线面垂直面面垂直要点诠释: 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题,,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可。知识点五、直线与平面垂直的性质一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。符号语言: 图形语言: 垂直于同一个平面的两条直线平行。符号语言: 图形语言: 知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言: 图形语言: 经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义 () ①如果直线与平面内的无数条直线垂直,则; ②如果直线与平面内的一条直线垂直,则; ③如果直线不垂直于,则内没有与垂直的直线; ④如果直线不垂直于,则内也能够有无数条直线与垂直. 举一反三:【变式1】下列说法中错误的是() ①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交; ②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内; ③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线. A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③类型二、直线和平面垂直的判定 ,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点。(1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC。举一反三:【变式1】如图所示,三棱锥的四个面中,最多有________个直角三角形。【变式2】如图所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M。求证:CD⊥平面BDM。类型三、直线和平面所成的角 ,已知∠BOC在平面内,OA是平面的斜线,且∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=,BC=,求OA和平面所成的角。总结升华:(1)确定点在平面内的射影的位置,是解题的关键,因为只有确定了射影的位置,才能找到直线与平面所成的角,才能将空间的问题转化为平面的问题来解。(2)求斜线与平面所成的角的程序: ①寻找过直线上一点与平面垂直的直线; ②连接垂足和斜足得出射影,确定出所求解; ③把该角放入三角形计算。(3)直线和平面所成的角,也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况,也就是直线和平面成90°角和0°角的情况,所以求线面所成角时,应想到以上两种情况。举一反三:【变式1】如图所示,在正三棱柱中,侧棱长为