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点集拓扑.doc拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质,进行数学化的结果。在漫长的历史过程中,人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质,直到康托搞出了集合论之后,以集合论为基础,配之以映射概念,拓扑学有了根本性的发展。人们对数学的不断深入,是沿着这样的线路发展的:数字->算术->欧氏几何->代数->函数->数学分析(微积分),至此其实都可以说是对数的研究,并在3百年内发挥到了很复杂的程度。而集合概念的提出和运用,则从本质上改变了数学的内涵,即跳出了“数”的框框,而进入以各种抽象事物为研究对象的领域。当然,“数”是属于这些抽象事物之一。笛卡尔创立的解析几何,让数字和几何结合了在一起,可以用代数的方法来求解几何问题。现在用集合概念来看几何问题,那将大大扩展了几何学的内容,将点、直线、平面、空间、二次曲线/曲面都当作集合,可以说把传统的几何学、代数和分析学都统一在一个框架里了。所以在现代的拓扑教材中,开头都是论述“集合论”。集合是一个十分抽象的概念,可以套用到各种具体的情况中。其实集合这个概念本来就是把世间几乎所有的事物的共性给抽象了出来,所以集合的所有规律,都适用于几乎所有的世间事物。人们从各种现实事物中抽象出“集和”概念,然后运用到其他新的事物中,就可以对新事物有了完善的理解。就如LostAbaddon所说过的:集合就像是OO编程(面向对象编程)中的基础类,甚至是抽象类,是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样,集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”,所有可以合在一起考虑的事物堆,都可以套用“集合”的一切规律。当我们了解了集合这个抽象概念的规律后,再回过头用集合的观点来审视从前的数的观点,会很自然地发现集和概念中的规律,有很多是数的规律的推广。其实应该反过来说,人们在考虑集和的规律的时候,往往是把数,或者其他具体事物的相关规律进行推广而得到的。体现在拓扑学中,最抢眼的就是对传统几何学中“距离”概念的推广。说到了集和,就不得不说另一个相关的概念:映射。映射概念也是一个具有目前看来最广泛的概念,是“函数”概念的最直接的推广。在函数概念中,我们说函数是一个法则,指定了与一个数字或者一组数字,所对应的另一个数字。注意,这里的研究对象都是“数字”,不管是自然数、实数还是复数。而映射则把研究对象从“数”扩展到了“一切事物”:映射也是一个法则,将一个或者一组事物,对应到另一个事物。这些事物可以是数字,也可以是人、班级、电脑、钞票或者是人际关系……这样回头看看函数这个概念,就是映射概念中的一个特殊的情况:仅仅考虑数字关系的法则。映射是一个法则,是一个桥梁,连接了两堆事物,正好比函数这个法则连接了两堆数字:自变量数字堆,和应变量数字堆。这两堆数字或者两堆事物正好可以用集和来描述,所以我们可以说,映射是联系两个集和的一套法则,描述了一个集和中的事物,是如何与另一个集和中的事物相关联的。比如有两个集和:集和1={所有联想电脑},集和2={某商场中所有商品的价格列表}。那么我们可以建立一个映射,让每一个集和1中的事物(每一台联想电脑),都有一个集和2中的事物(商场中出现的一个价格)所对应。这个电脑-价格映射,往往是一个索引表格:左端是自变量(电脑型号),右端是应变量(价格),中间是一条连线(一般表格中不出现连线,不过可以想像有这么根线)。这就是一个很形象的映射的表现形式,而教材中出现的映射,都是这样子的:两个集和(两团土豆状区域),之间用若干根连线相连,就是一个很不规范的表格而已。所以说,集和推广了“数”的概念,映射推广了“数与数之间关系”的概念,两者结合起来,就把数学推广到了很广泛的程度,远远超出“数”的框框。集和就像是OO编程(面向对象编程)中的基础类,甚至是抽象类,是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样,集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”,所有可以合在一起考虑的事物堆,都可以套用“集和”的一切规律。 集和是一堆事物,一堆东西,可以是任何东西。但我们把乱七八糟的一系列东西放在一起,虽然也是一个集和,但这样的集和是难以找寻规律的。我们常常把一些具有共性的事物和东东放在一起形成一个特定的集和,是因为这样的话,我们就可以创建一个针对这个共性的映射,将这个特定集和与另一个特定集和相联系。而对乱七八糟的集和来说,创建这样的映射是一件痛苦的事情,而且也没啥用。比如我们可以把“杯子、厉风、洞庭湖、某股票价格、英语”放在一起形成一个乱七八糟的集和,然而这个集和我们几乎无法使用,仅仅表达了一堆东西的存在而已。而如果我们把“厉风、CloudK、碘化亚铜、zmt0516”放在一起形成一个集和,那这个集和的每一个事物都有一个共性:是“物理吧id”。于是可以针对这个“id”共性创建一个映射,比如映射到“id的年龄”这个集