冲刺高考专题训练：导数.doc

高考专题训练:导数一、考点分析(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。、解析几何、不等式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。,属中高档题。二、高考热点热点题型一判断或证明函数的单调性例1、【课标II,理11】若是函数的极值点,则的极小值为().【答案】A【变式探究】设a∈[-2,0],已知函数f(x)=证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增。解析:设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x≥0)。①f′1(x)=3x2-(a+5),由于a∈[-2,0],从而当-1<x≤0时,f′1(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减。②f′2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1)。由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时,f′2(x)<0;当x>1时,f′2(x)>0,即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增。综合①②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增。【提分秘籍】导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤(1)求f′(x);(2)确认f′(x)在(a,b)内的符号;(3)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数。【举一反三】已知函数f(x)=x2-ex,试判断f(x)的单调性并给予证明。解析:f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减,f′(x)=2x-ex,只要证明f′(x)≤0恒成立即可。设g(x)=f′(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,当x=ln2时,g′(x)=0,当x∈(-∞,ln2)时,g′(x)>0,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0。∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2-2<0,∴f′(x)<0恒成立,∴f(x)在R上单调递减。热点题型二求函数的单调区间例2、【天津,理20】设,已知定义在R上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)设,函数,求证:;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且满足.【答案】(Ⅰ)增区间是,,递减区间是.(Ⅱ)见解析;(III)见解析.(Ⅱ)证明:由,得,.令函数,(Ⅰ)知,当时,,故当时,,单调递减;当时,,,当时,,,(Ⅰ)知,在上单调递增,故当时,,单调递增;当时,,,当时,,,.(III)证明:对于任意的正整数 ,,且,令,(II)知,当时,在区间内有零点;当时,,不妨设为,(I)知在上单调递增,故,,,故在上单调递增,所以在区间上除外没有其它的零点,而,,,均为整数,所以是正整数,从而.,只要取,就有.【变式探究】已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求函数f(x)的单调区间。解析:f′(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a=4(1-a),若a≥1,则Δ≤0,f′(x)=x2+2x+a≥0,∴f(x)在R上单调递增。若a<1,则Δ>0,方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根,x1=-1-,x2=-1+,当x<x1或x>x2时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+)。【提分秘籍】求函数的单调区间的“两个方法”方法一(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间。方法二(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。【举一反三】设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)。(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值。(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=x-5+=。令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3。当0<x<