勾股定理在代数中的妙用.doc

勾股定理在代数中的妙用麻城市罗家铺中学殷前【摘要】勾股定理源于生活、贴近现实。它是平面几何的基石,揭示了直角三角形三边之间的数量关系。不仅在平面几何的解题中有着广泛的应用,而且在代数解题中也有许多应用。勾股定理把数与形结合起来可以巧妙地用来求解二次根式的最值、不等式等代数题目。在应用勾股定理解代数题目时,首先必须对有关的代数式进行几何说明,解释它的几何意义,作出相应的图形,进而将代数问题转化成几何问题求解。下面简单地进行举例:例1、都是正实数,且满足,求代数式的最小值。分析:这道题目看起来是一道纯粹的代数题目,求的是两个二次根式的和的最小值。我们同学们初一看似乎都有点犯难,感觉无从下手。但仔细观察这两个二次根式的结构,我们很快就会发现它和我们学过的勾股定理有着密切的联系。我们不妨就试着将二者联系起来。如图1,设,,,⊥⊥AB,则由勾股定理可知,,原题就转化成求两条线段的和最小的问题了。解:如图1,设,,,⊥AB,则由勾股定理可知,。显然DC+EC>DE,当任意点C取到G点所在的位置时,DC+EC=DE。而又由勾股定理易得,DE=5.∴综上可得,≥5,、已知都是正实数,,求证:分析:这是个不等式的问题,,就知识点和相应的解题的数学思想方法而言,,和分别可以看作是两个直角三角形的斜边,可以看做是两条线段之差,即是一条线段。那么,问题就转化成了求证两条线段之差小于第三条线段了。我们很自然的就联想到三角形三边的知识了。所以,我们只要构造出一个三角形使得它的三边分别是、和就可以证明了。这个是可以做到的。作,使,,则=,又作,使,则(如图1所示)。连接,则四边形是矩形,所以。于是要证结论成立,只要证就可以了。显然这是成立的。证明:如图2,作,使,,则=,又作,使落在上,,,则,连接,则四边形是矩形,所以。在∴例3、