2019 2020学年高中数学第8章三角恒等变换8.2.4三角恒等变换的应用第1课时半角的正弦、余弦和正切学案.docx

第1课时半角的正弦、、余弦和正切公式的过程.(一般)、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)、余弦和正切公式的推导,、余弦和正切公式的应用,=±,cos=±,tan=±==.思考:如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?[提示](1)如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时,则先求角所在范围,=,α∈(0,π),则cos的值为( )A. B.- C. D.-C [由题意知∈,∴cos>0,cos==.]( )A. . [===|tanα|;==tan;==;==tanα.]∈(π,2π), [===.∵α∈(π,2π),∴∈,∴sin>0,故原式=sin.]化简问题【例1】已知π<α<,求+的值.[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”,再根据的范围开方化简.[解] 原式=+∵π<α<,∴<<,∴cos<0,sin>0.∴原式=+=-+=-,如:1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2,1±sinα=等,<θ<2π,试化简:-.[解] ∵<θ<2π,∴<<π,∴0<sin<,-1<cos<-,从而sin+cos<0,sin-cos>0.∴原式=-=-=--=-【例2】已知|cosθ|=,且<θ<3π,求sin,cos,tan的值.[思路探究] ―→―→―→求[解] 由<θ<3π,且|cosθ|=可知,cosθ=-,∈.由sin2===,∴sin=-=-.由cos2===,∴cos=-.∴tan===,求的相应三角函数值时,常借助于半角公式sin2=,cos2=,tan==来处理,由于上述式子中可能涉及解的不定性,-cos=-,450°<α<540°,求sinα及tan的值.[解] =1-sinα=,∴sinα=,∴sincos==,∴==,解得tan=2或tan=.∵450°<α<540°,∴225°<<270°,∴tan>1,∴tan==,tan=【例3】(1)求证:1+2cos2θ-cos2θ=2.(2)求证:=.[思路探究](1)可由左向右证:先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证.(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.[证明](1)左边=1+2×-cos2θ=2=.(2)左边=======:(1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.(4)比较法