初中数学《最短路径问题》典型题型复习.doc

知识点:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。“饮马问题”,“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧例:已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。解:连接AB,线段AB与直线L的交点P,就是所求。(根据:两点之间线段最短.)二、两点在一条直线同侧例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、:只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+“街道”的对称点A′,然后连接A′B,交“街道”于点C,、一点在两相交直线内部例:已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,:分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小A·BMNE例:如图,,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)解:,,则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。证明:由平移的性质,得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,,则AB两地的距离为:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。··CDABEa例:如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。作法:作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D,则点D为建抽水站的位置。证明:在直线a上另外任取一点E,,∵,,∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE中,AE+EC>AC,即AE+EC>AD+DB所以抽水站应建在河边的点D处,DAOBC..ENCM例:某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短? 作法:,,,则CM+最短FAOBD··CH例:如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河