【Selected】南京大学数学分析考研试题及解答.doc

【Selected】南京大学数学分析考研试题及解答.doc南京大学20KK年数学分析考研试题一设为上的周期函数,且,证明恒为0。二设定义在上的二元函数关于,的偏导数均恒为零,证明为常值函数。三设为上的一致连续函数,且,,问:是否为连续函数?若答案为“是”,请给出证明;若答案为“否”,请给出反例。四是否存在区间上的数列,使得该数列的极限点(即聚点)集为,把极限点集换成,结论如何?请证明你的所有结论。五设为上的非负连续函数,且,问是否在上有界?若答案为“是”,请给出证明;若答案为“否”,请给出反例。六计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。七计算积分。八计算积分,其中为如下区域:,为正常数。九设,,证明:级数是收敛的。十方程在附近决定了隐函数,求的值。十一求函数在约束条件,下的极值,并判断极值的类型。十二设,且,证明:。十三设为上的连续函数,且对任意正整数,均有,证明:为常值函数。南京大学20KK年数学分析考研试题解答一证明设的周期为,,则有,由条件知,,结论得证。二证明因为,,,在上连续,对任意,有,所以,即为常值函数。三解未必为连续函数。反例:,在上连续,又,所以在上一致连续,,显然在上不连续。四解(1)存在。取中的有理数形成的点集,则有。(2)不存在。假若存在,使得,由于是闭集,而为开集,矛盾,所以这样的点列不存在。五未必有在上有界,未必有。六解显然两曲线的交点横坐标为,,。七解显然这个二重广义积分是收敛的。由,。八解十解,,。十一解,,,,,。十二证明,,,于是,,,,,故有。十三证明作函数,是周期为的偶函数,当时,,则在上连续,在可积。,,,,,在中收敛于,,,,由在上连续,知,即得,在上为常值函数。南京大学20KK年数学分析考研试题1开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列,请说明理由。2若级数收敛,则是否有收敛,是请证明;否请举反例。3设,求。4求。5若函数在上可导,则是否一定有界,是请证明;否请举反例。6函数连续,且有唯一的极值点,证明:这个唯一的极值点一定是最值点。7函数在上有二阶导数,,,,求证:,。8函数是一个函数,,计算。9计算,其中是八分之一球面,方向朝外。10、已知是上有界变差函数,求证:,其中是的傅里叶系数。南京