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随机过程在金融中的应用随机积分积分第一节引言一、Ito积分的导出在物理现象中是用微分方程来描述其模型,而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系,建立相应的积分方程。但在随机环境中,由于不可预测的“消息”不断出现,并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数,这就无法定义一个有效的导数,建立一个微分方程。然而,在某些条件下可以定义一个积分—Ito积分,建立积分方程。首页前面讨论的随机微分等式,其中的项都只是近似讨论,而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义,反过来才能更确切地讨论。即若用微分方程代表资产价格的动态行为,那么能否对两边取积分,即也就是说,是否等式右边第二项的积分有意义?为解释此项积分的含义,需引进Ito积分首页也就是说,一旦定义Ito积分,则上积分等式才有意义即有其中h为一定的时间间隔。若则上等式改写为即或这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式首页此表示式为一近似式,其精确公式为二、Ito积分的重要性首先随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义,要理解随机微分方程的真正含义,必须首先理解Ito积分。其次在实际运用当中,经常先用固定的时间间隔,得出随机微分方程的近似值,然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。返回首页第二节Ito积分的理论Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。布朗运动如果标准布朗运动一、Ito积分的定义首页定义1满足作和式如果均方极限存在则称记为首页注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。定理1首页定理2则证令则首页因为0首页