二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系.doc

二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系第11卷第3期2011年6月柳州职业技术学院JOURNALOFLIUZHOUVOCATIONAL&[理工农学研究](,广西柳州545006;,广西柳州545001)摘要:探讨了二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系,得到求二阶变系数齐次线性微分方程的一个解和通解的公式,:变系数;线性微分方程;特解;通解中图分类号::A文章编号:1671-1084(2011)03—0047—04在一般《常微分方程》教材中,关于线性微分方程通解的结构问题,从理论上说,,,但我们发现,,,这类线性微分方程没有普遍的解法,处理的基本原则之一是利用常数变易法或用降阶法,,,n-1+..,案.?定理1t(通解结构定理)如果Xl(t),X2(t),…,x(t)是方程(1)的n个线性无关的解,(1)的通解可表为x:c1x1(t)+c2x2(t)+…+cn)((t)(2)则方程其中C.,C,…,(2)包括了方程(1)(t)和x(t)是区间[a,b】上非零的连续函数,若Vt?[a,b],有?c或?c(其中C为常数),则在区间【a,b】上,X(t)和x2(t)(用反证法)假设X(t)和X2(t)在区间[a,b】上是线性相关的,则存在不全为零的数c,c2,使ClX】(t)+c2x2(t)=O,即Clx1(t):一c2x2(t).若c1?0时,==c,若C2?0时,==cX217,C1XIt,1(其中C为常数),这与题设条件矛盾,(c)和x2(t)在区间【a,b】:2011-03-20基金项目:2011年新世纪广西高等教育教学改革工程项目(2011JGB221);2010年柳州职业技术学院教学质量与教学改革工程第三批A类立项项目(2010-A022)作者简介:余惠霖(1953一),男,广东台山人,柳州职业技术学院公共基础部副教授,研究方向:(1957一),女,广西柳州人,柳州市第三中学高级教师,研究方向:+p(t)+q(t)x=0(3)若X(t)?0是方程(3)的一个解,则1)方程(3)