线代总结1+线性代数中的线性方程组.doc

:(Ⅰ)还可表示为Ax=b,其中 被称为系数矩阵。称为增广矩阵。,当b=0时,称方程组Ax=0为齐次线性方程组,当b≠0时,称方程组Ax=b为非齐次线性方程组。如的系数矩阵是,是非齐  次线性方程组。如的系数矩阵是,是齐次线性方程组。第一章介绍了利用行列式的性质来讨论线性方程组的解,下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。定理5设线性方程组(Ⅰ)的增广矩阵可由初等变换化为,则Ax=b与Bx=d是同解的方程组注意:如果是齐次线性方程组b=0,只需对其系数矩阵进行初等变换换。定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组,首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵,再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。(A)<n。证明:必要性已知方程组Ax=0有非零解,用反证法证明。设R(A)=n,则在A中必有一个n阶非零子式,从而所对应的n个方程只有零解,这与已知矛盾。因此R(A)≠n,即R(A)<n。充分性已知R(A)=r<n,则A的行最简形矩阵只含r个非零行,其余n-r行都为零,这n-r个行所对应的变量是自由变量,可以任意取值,所以,可知方程组有非零解。例7求解线性方程组解:系数矩阵将A施以初等行变换可知R(E)=3,方程组Ex=0只有零解。又知方程组Ax=0与Ex=0是同解的,所以Ax=0只有零解。例8求解齐次线性方程组解:系数矩阵将A施以初等行变换B为最简形矩阵,R(B)=2〈3,由定理6知,方程组Bx=0有非零解B所对应的方程组为这个方程组中有4个未知量,两个方程,故应有4-2=2个自由未知量。用向量表示为此解是方程组Bx=0的通解,再由定理5知,它也是方程组Ax=0的通解。(或满秩矩阵),其解为如果系数矩阵A是非满秩矩阵,其解的情况较复杂,可能无解,可能有唯一解,也可能有无穷多解。定理7对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)=R当R(A)=R=n时,方程组有唯一解当R(A)=R<n时,方程组有无限多解当R(A)<R时,方程组无解证明:必要性已知方程组Ax=b有解,用反证法证明。设R(A)<R,则将化为行最简形矩阵,可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1,这与方程组有解相矛盾,因此R(A)=R充分性当R(A)=R=n时,方程组没有自由未知量,只有唯一解。当R(A)=R<n时,将化为行最简形矩阵可知,方程组有n-r个自由未知量,可令它们分别取则方程组解中含有n-r个任意常数,因而,有无穷多个解。当R(A)<R时,可得方程组无解。证毕。求解非齐次线性方程组,只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,即可判断其是否有解;若有解,再进一步将化为行最简形矩阵,写出其通解。例9求解非齐次线性方程组解:其增广矩阵为,对其进行初等行变换B是行阶梯形矩阵,R(B)=3,即R=3。由于R(A)=R=3=n,可得方程组有唯一解。再将B化为行最简形矩阵,C为行最简形矩阵,其对应的方程组的解为方程组Ax=b与之同解,所以Ax=b有唯一解x=1,y=2,z=-3。例10求解非齐次线性方程组解:其增广矩阵为,对其进行初等行变换可见R(A)=R(B)=2〈3,由定理7可得方程组有无穷多解。再将B化为行最简形矩阵C为行最简形矩阵,其对应的方程组为这个方程组中有3个未知量,两个方程,则必有1个自由未知量。设z=c(c为任意常数)所以原方程组有无穷多个解,其通解为x=2-c,y=2+2c,z=c。用向量表示为例11求解方程组解:其增广矩阵为,对其进行初等行变换观察B的第2,3行,即可看出R(A)=3,R(B)=R=4R(A)〈R所以原方程组无解。例12确定λ的值,使下列线性方程组(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解。解:其增广矩阵为,对其进行初等行变换由此可得,如果λ≠2和λ≠-3,R(A)=R=3,方程组有唯一解;