【精品】群论在固体物理中的运用(讲稿)P53-81 讲稿.doc

【精品】群论在固体物理中的运用(讲稿)P53-81_讲稿.doc第二早群表示理论复****167;:群G的矩阵表示,就是一个与群G同态或同构的方矩阵群。例:群D3={E,C2A,C2B,C2c,V,C3z}D3群的ch表示:<100^‘010、‘100、E=010100B=;00101oy\ 7J /<000‘001、‘010、C=010D=100F=001J00丿〔°10,J0°丿C2aC2b=Q;对应于AB=⑶表示:——<100>A=<100、0100-10<001丿<00_1丿E7?]]RnRX3/、X坐标变换y'=7?21 尺22 尺23y的矩阵表示:&31尺32尺33丿乙)/"1一匹/"1回c=-2_V321D=~2_V321<22丿<2~2)F=/「丄一2_V|20Vf2j_20r_!_2_V|20V|2~20/_2V|20旦~220D3群的D3⑵表示:~2V33212>D3群的表示:C3V群坐标变换矩阵(173J ——0p00、‘100、22E=010A=0-10B=V3丄022、001丿01丿001\丿\、r\/1\r\/1、—() —0— U222222C=_V|10D=_V|_10F=V|--0~2222200100101丿)/D3群的一个三维矩阵表示D:0V3212><100、<100、E=010A=\01丿0_1丿0_V3(6) D3群的高维矩阵表示:11--E1-2012-V1一201-2-ZT11-2O2012V3-2O12卫zr(7)D3群的同态群表示:了10 0、<10o'E=0100-10<0°1丿<00b或二维表示<10、<1O'E=A=01<0-L\ 7\丿0还有高维同态群的矩阵表示。确实表示和不确实表示每个群都有的一个表示:恒等表示(一维的单位矩阵)E=(l),A=(l),B=(l),C=(l),D=(l),F=(l)表示的形式无限多。一个群的基本表示(不可约表示)只有有限的几个。等价表示M^S^MS例题:D3群的心表示:‘100、V10、<100、0104=100B=001、001丿,°01丿\°10>\ 7E=‘0o0<001、‘010、010D=100F=001b°o丿J°1。丿,100?C=DJ/、(0、0rz10011730_丄22D=0-A-_2TF=0_7310122丿k~2;\0c010220与表示(5)‘100、<100、010力=010,001丿<00-1\/E=B=0迴21相似变换矩阵lvflpO是等价的(也称为相同的)。幺正表示定理一有限群的任何非奇异的矩阵表示,都可以通过相似变换变成幺正矩阵表示。定理二若群G的两个幺正表示Dg和D,g是等价的,那么,必然存在一个幺正矩阵U,使 D(R)=U“D(R)U注意:等价表示NT=S“MS可约表示与不可约表示可约表示:表示矩阵是相同形式的块状对角矩阵,或者可以用同一个相似变换变成相同形式的块状对角矩阵。D3群的D3⑶表示是可约表示:‘100、£=010'1000-1002j_20、o0-11一2朽20oo1V3212012V32O厂-=_V3~T1\ 7 \ 7 \ 7D3群的D,表示是可约表示:〔100、‘100、E=010010<0°1丿°T丿//1001001-2/-0--2_V|2D=0a/3"T。一匣10_V31122>kc=2V|2V|0V3210_V3D3群的心表示也是可约表示:<100、‘010、"10o'E=010A=100B=001<001丿001010;J 7<001、‘001、(010、C=010D=100F=001<10 0,\/,010?b°o丿不可约表示D3群的D3⑵表示(可以记作。已):B—21