一个几何问题的解题思考.doc

一个几何问题的解题思考.doc第一部分:求等边三角形ABC内满足ZMAB++ZMCA=90啲点M的儿何位置?证明:/.等边三角形ABC内的三条高上的每个点都满足题意条件,如图,设E是高朋*±的点,则有ZEAB+ZEBC+=ZEAB+ZEBC+ZEAC=ABAC+ZEBA=90°〃•证明其它的点不合条件,设M满足题屮条件,但不在任意的高上,,交于点E,F,如果三个点EFG(三点必不相同)都满足题屮条则有\^MBE=ZMCE,[ZMBF=ZMCF但这时点B关于直线AM的对称点D将在三角形CME的外接圆周上,同时也在三角形CMF的外接圆周丄,因此这两个圆同时过三个不同的点C,D,M,••・直线AM不垂直BC,.・.DHC,=>,••・在同一•直线上的点E,F,M不可能在同一圆周上.•・矛盾,故得证其它点不合条件!DA*第二部分:通过对正三角形的讨论,猜想一个拓展命题:问题:求正方形ABCD内部满足ZWAB+ZWBC++ZWDA=180。的点W的儿何位置?如图所示,正方形ABCD屮,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,,BD,EG,FH,这里的AC,BD,EG,-2如图4・1点W在AC或(BD)对角线上时,有ZWAB====:.有ZWAB+ZWBC+ZWCD+AWDA=ZWCB+AWBA+ZWAD+ZWDC=180°同理易证明图4・,假设点W若不在正方形对称轴线段AC,BD,EG,FH上时,[正方形是4向对称图形,点W取在三角形ODG内完全具有同一性]作点V与点W关于EG对称延长WV与AC,BC交于点K,点T并在线段作点J,使得TJ=TC连接WA,WB,WC,WD,WJ,VA,VB,VC,VD,VJ,JK,由辅助线作法易知四边形ABVW是等腰梯形,即点A,B,V,=ZCAV=Z1,^ZWBV=ZVAW=Z2,ZWDV=ZWCV=ZWJV=Z3,ZWDB=ZVCA==Z4.・・•ZWAB+ZWBC+ZWCD+ZWDA=180°ZWAB=45°+Z1+Z2,ZWBC=45°一Zl,=45°-Z3-Z4,ZWDA=45°+(45。+Z1+Z2)+(45。—Zl)+(45。—Z3—Z4)+(45°+Z4)=180°=>Z2=Z3,即= ,ZKCT=ZKJT=45°,且・••四边^ABVW是等腰梯形/.ZBJW=ABVW=ZAWVZBVW=180°-ZTVB=180。—ZABV=180°-45°-(Z1+Z2)ABJW=180°-=180°-45°-(Z3+Z4)=>Z1+Z2=Z3+=Z1+Z2==Z3+Z4,点共圆点丿,V,W共圆=>点ABJVW共圆,那么有点共圆点A",K,W共圆=点A,BJ,K,U,,W,,U,W在同一自线上.・.矛盾,即点K,V,!.••正方形内满足题意的点W的儿何位