4-9-凑微分法.docx

模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称计算模块三级模块名称凑微分法模块编号4-9先行知识1、积分基本公式模块编号4-72、牛顿—莱布尼茨公式模块编号4-、正文编写思路及特点思路:在熟练掌握积分基本公式的基础上,引入凑微分法,按照由易到难的顺序讲题例题、安排****题,使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数的不定积分。在学****完不定积分的凑微分法后再来学****定积分的凑微分法。特点:经过变换****题的手段,一方面进一步的巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生的观察能力和知识的迁移能力。授课部分新课讲授利用基本积分公式与不定积分的性质,,我们能够把复合函数的微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法-----,、不定积分的凑微分法(第一换元积分法)(1)基本积分公式的推广定理:若,则例如:(2)引例:求不定积分分析:,我们发现区别只是的幂次相差一个常数因子,,使之成为下式然后再令,那么上述积分就变为这样就将原不定积分化为可用基本积分公式的问题了,而,最后将代回,从而有由于,因此计算结果正确.(3)不定积分的凑微分法(第一换元法)将引例抽象化,对于具有形如的不定积分,可利用下面的积分方法:定理1设f(u)具有原函数,u=j(x)可导,则有换元公式其中,,此称为积分形式的不变形,又称为第一换元积分法或凑微分法。总结:凑微分法的关键是凑成微分的形式,即经过凑成某个函数的微分,进一步的凑成基本积分公式,然后利用基本公式积出来(4)(1)(一级)(2)(一级)(3)(一级)解:(1)(令)注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式(2)(令)注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式(3)()()注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式在计算比较熟练以后,换元这一步能够省略,即按如下方法写出计算过程:(1)(二级)(2)(二级)(3)(二级)(4)(二级)(5)(二级)(6)(二级)(7)(二级)解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)由以上题目可见,凑微分是经过凑出某个函数的微分进一步的凑成基本的积分公式,从而掌握一些常见的凑微分方法是必要的,下面是一些常见的凑微分方法:特别地,(5)(6)(7)(8)(1)(二级)(2)(a>0)(二级)(3)(二级)解:(1).即(2).即(3).即这样,我们得到三个积分公式:(选讲)例4求下列函数的不定积分(提高部分,可选讲)(1)(三级)(2)(三级)解:(1)(2)=2、定积分的凑微分法(第一换元积分法)由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分的凑微分法与不定积分的凑微法类似,只是多了一步将上、,我们能够得到如下定理定理2设f(u)具有原函数可导F(u)则有换元公式例5求下列函数的定积分(1)(一级)(2)(一级)(3)(二级)(4)(二级)(5)(二级)(1)解:=(2)解:=.(3)解:(4)解:(5)解:能力反馈部分1、用凑微分法求下列函数的不定积分(1) (一级) (2)(二级) (3) (二级) (4)(二级)(5)(二级)(6)(二级)(7)(二级)(8)(二级)(9)(三级)(10)(三级)2、用凑微分法求下列函数的定积分(二级)(一级)(二级)(二级)