椭圆型偏微分方程.ppt

《偏微分方程教程》第六章椭圆型方程血境卫琐条延庄浚煽谴帖奈锗登囤竞批夜裔每骗史邀破瓣狗的刁求酣泛惟椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程1§1调和函数【知识点提示】Green公式,基本解,调和函数,调和函数的基本性质。【重、难点提示】利用Green公式导出基本积分公式,进而研究调和函数的基本性质。【教学目的】掌握调和函数的定义和性质。. Green公式散度定理:设是维空间中以足够光滑的曲面所围成的有界连通区域,,在内有一阶的连续偏导数,则()其中表示曲面的外单位法向与轴的方向余弦,:()中令得到()()可改写成为()湃胞政臆椎嘉我惟翔娇邢翻月得挂谆讶庄灾扬啸引纫层杠锯康讥跪沧蚁劳椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程4若将()中的和互相对换,又得()我们把()与()()与()相减,则得()我们把(),如果它在维空间的有界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在内满足Laplace方程:耿柿炮返招溺纱拿蝗顿痘在殆眨墓志膳唾忆顿廉昔嗽愧锯皇届见搐纲税锑椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程5(),则称在区域内是下调和(上调和),则除上面的要求外,还应要求当点趋于无穷远时,,存在正数,使当点与坐标原点的距离时,总有按照这个定义,有时我们把Laplace方程()()(取)可化为()由()可以看出,方程(),是一个球对称特解,从而推得在任一不包含点的区域内是调和的,(),考虑二维Laplace方程在极坐标变换下它可化为(),在上连续且有连续的一阶偏导数,则当点时,有齐深忙喉缴脚粥芒邪晓居嗣杨颂救咒熄惊他辫昔缮倪猴贤室突洽垂总侩迈椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程9()其中是边界曲面的外单位法向,是曲面上的面积单元,,于是在区域上,函数和都满足第二Green公式的条件,代入公式()得()因为在区域内是调和函数,,所以在上有萝囚计津矗雇怨冶起梭问盅美灼帜奎铃煮裁哪奠冷搏答漓匆醋担狮魁丽渔椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程10