6-2 定积分的几何应用(1)--平面图形的面积.pdf

第二节定积分的几何应用(1)二、典型例题————平面图形的面积平面图形的面积一、主要内容三、同步练****第六章四、同步练****解答一、主要内容∫=baxxfAd)(曲边梯形的面积(1) 面积元素xxfAd)(d=(2) 面积元素xxgxfAd)]() ( [d?=∫?=baxxgx fAd)]() ( [曲边梯形的面积1. 直角坐标情形cd一般地,有∫?=baxxgx fAd)() () 3 (∫?=caxxgx fd)]() ( [∫?+bcxxfx gd)]() ( [)(ba<)(d)() () 4 (dcyyyAdc<?=∫?ψxyO)(yxψ=)(yx?=yyyd+abcxyOy = f(x)y = g(x)dAxxxd+当曲边梯形的曲边???==)()(tytxψ?给出时, )(xfy=由参数方程满足:且)(),(xψxφ;)(,) ( ) 1 (ba==β?α?上具有一阶连续导数;或在]),[](, [ ) ( ) 2 (αββα?t连续,)() 3 (tyψ=则曲边梯形面积为]),[, 0 ) ( (baxxf∈≥∫=baxxfAd)()(d ) ( ) (battt≤′?=∫βα?ψ2. 参数方程情形oyxab)(xfy=3. 极坐标情形,0)(, ] , [ ) (≥∈θ?βαθ?C设求由曲线)(θ?ρ=及βθαθ==,],[βα上任取小区间], [θθθd+则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为[]θθ?d)(21d2=A所求曲边扇形的面积为:θθ?βαd)(212∫=A)(面积元素:βα<问题:).(θ?ρ=的极坐标方程为:设曲线L如何画出极坐标方程所表示的曲线的草图?方法:的取值范围;的可确定曲线,即由θθ?ρL,0)(01≥≥=如:对于双纽线25223222π≤≤ππ≤≤π?θθ及令454344π≤≤ππ≤≤π?θθ及得,02cos≥θ方程知由xyO关于极轴对称;则若L),()(2θ?θ?=?o.),()(轴对称关于则若yLθ?θπ?=?.314的讨论画出图形合综ooo?;) ()(3的单调性的符号,判断利用θ?ρθ?ρ=′=′o,如:对于π)20 , 0(≤≤>=θθρaa,0>=′=∴xyO2πa二、典型例题计算由两条抛物线xy=2和2xy=所围成的图形的面积. )1,1() 0 , 0 (解1o求两曲线面积元素:xxxAd)(d2?=]1,0[∈x?????==22xyxy的交点:选 为积分变量x2oxxxAd)(210?=∫10323332???????==例1xyO2xy=xy=21例2 计算由曲线xxy63?=和2xy=(方法1)1o两曲线的交点).9,3(), 4 , 2 ( ), 0 , 0 (???????=?=236xyxxy]3,2[2o选x 为积分变量,?∈x],0,2[) 1 (?∈xxxxxAd])6[(d231??=],3,0[) 2 (∈x2xy=xxy63?=2?3Oxxxx Ad)]6([ d322??=于是所求面积21AAA+=xxxxAd)6(2023??=∫?xxxxd)6(3230+?+∫.12253=说明::吗?积分变量能选yxxxxx x g x f Ad)6(d ) ( ) (322332∫∫????=?=(方法2) 代公式,得xxxxd)6(2023??=∫?xxxxd)6(3230+?+∫.12253=太麻烦!