让四边形回到三角形的怀抱（巧解数学题）.doc

让四边形回到三角形的怀抱四边形与三角形有着密切的联系,它可以看做是由两个具有一条公共边的三角形拼合而成,所以在研究与四边形相关的问题时,如能灵活地把它转化为三角形问题来解,往往能收到良好的效果。今举几例。一、直接利用三角形[例1]求证:四边形两条对角线的和大于一组对边的和。分析:已知:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,求证:AC+BD>AB+CD图1证明:在△AOB和△COD中∵AO+BO>AB,CO+DO>CD∴AO+BO+CO+DO>AB+CD∴AC+BD>AB+CD二、添对角线构造三角形由四边形与三角形的联系,经常作四边形的对角线也就成了与四边形相关问题中的常用辅助线,通过这个辅助线也就让四边形回到三角形的怀抱了。[例2]如图2,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=,CD=5,DA=3,求四边形ABCD的面积。图2解析:本题中四边形不是已知面积公式的四边形,注意到∠B是直角添对角线AC,可将它分成两个三角形来求面积。连结AC,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,,由勾股定理,得AC=4又因为CD=5,DA=3由勾股定理的逆定理可判定△ACD也是直角三角形,∠DAC=90°所以S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC注:添对角线是将四边形转化为三角形的最直接也是最常用的方法。三、添高线构造三角形[例3]如图3,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°。图3证明:如图,过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC于F。因为BD平分∠ABC所以DE=DFRt△EAD≌Rt△FCD所以,∠C=∠EAD因为∠EAD+∠BAD=180°所以∠C+∠BAD=180°四、通过补形构造三角形[例4]如图4,梯形ABCD中,AB//CD,EF是梯形的中位线,如果AC⊥BC,垂足为C,∠1=∠2,那么梯形EFCD的面积与梯形ABFE的面积之比等于__________。