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套利定价模型一、因素模型夏普—林特纳的资本资产定价模型认为:资产的收益(价格是收益率的倒数)是惟一由市场证券组合收益这个因素(或者指数)决定的,因此可以不太严格地称它为单因素模型。更为一般的,monfactor)决定,一般采用下面的线性函数形式。(1)其中是常数,F就是公共因素或者指数(index),是因素F对于风险资产i的收益率的影响程度,称它为灵敏度(sensitivity)或者因素负荷(factorloading),是随机误差项。(1)式可以视为一种收益发生过程(egeneratingprocess)模型。所谓收益发生过程就是由统计模型决定资产收益是如何产生的。在单因素模型下,风险资产的收益为:(2)如果随机误差与因素不相关,而且不同风险资产之间的随机误差也不相关,则风险资产收益的方差是:上式右边第一项就是因素风险(factorrisk),也就是在CAPM中被称为市场(或者系统)风险的部分,第二项是随机误差项的方差,它就是非因素风险(non-factorrisk),也就是在CAPM中被称为个别(或者非系统)风险的部分。不同风险资产收益率之间的协方差是:进一步,由单因素模型决定收益的资产构成的证券组合的收益率是:方差是其中:我们看到:资产组合的风险也分为因素风险和非因素风险两块。如果投资越分散,则每一种资产的份额就越小,这并不会导致的明显增加或者减少。这是因为是许多风险资产的因素灵敏度的加权平均,分散仅仅导致因素风险的平均化。但是非因素风险必然减小,如果假定各种资产收益间的随机误差部分不相关,则可以精确量化非因素风险。假定投资于n种风险资产,并且在每一资产上的投资份额都相等,根据上式就有:其中是平均化的单个资产非因素风险,而整个组合的非因素风险仅仅是它的1/n,我们看到每追加一种收益风险不相关的资产,资产组合的总非因素风险就是平均非因素风险的1/(n+1),这就大大地降低了非因素风险。进一步看,我们可以在单因素模型基础上加入其他因素,来构造更为复杂的多因素模型(multi-factormodels)。这些对于几乎所有风险资产收益都有某种程度影响的公共因素,可以是通货膨胀率、国民收入增长率、石油价格等。如何识别它们,以及它们对于某种资产的影响程度,是一个经验计量的问题。这样不同风险资产的收益运动由这些共同因素联系在一起,资产收益中任何不能由共同因素的变化来解释的部分,则仅仅属于该资产本身。考虑只有两个因素的情况,假定任意风险资产的收益由下面的两因素收益发生过程产生:(3)考虑由上述证券形成的资产组合,它的收益应当是它所包含的所有风险证券收益率的加权平均,即:(4)如同单因素模型中的情形,证券组合的灵敏度是其中所有证券灵敏度的加权平均。如果投资足够分散的话,那么由于大数定理作用,最后一项非因素风险就可能会消失不见了。使用有着不同因素特征的大量资产,可以构造出各种具有不同灵敏度的证券组合来。有一种投资策略是很有趣的,它可以构造出对于某个因素有着单位灵敏度(即灵敏度为1),而对其他因素有着零灵敏度的证券组合来。称这种证券组合为纯因素证券组合(purefactorportfolio)。、B、C有下列灵敏度:证券A---,则该种证券组合对于因素1和因素2的灵敏度分别为1和0:同理可以按照的投资比例获得“纯因素2”证券组合。因为我们这里只有3种资产,因此非因素风险仍然会很大,不过根据上面的讨论我们知道:如果类似的资产很多,则分散投资可以把非因素风险减小到趋近于0。这样就可以创造出一个“纯因素1”证券组合,它的收益结构就是:(5)由此它就退化成了负荷系数为1的单因素模型。这样的“纯因素1”证券组合的收益变化同因素变化完全是同步的。接下来,我们来分析该证券组合的收益构成。通常把它分解成为两个部分:(1)无风险收益率;(2)其他部分。可以把解释为每一单位灵敏度的某因素的预期收益溢价(expectedreturepremiumperunitofsensitivitytothefactor)。因此,可以把“纯因素1”证券组合的期望收益记为:(6)显然构造纯因素证券组合的方法不只一种,那么这些不同的证券组合构造方式,是否会产生同样的期望收益呢?答案是肯定的,这就涉及到无套利均衡。二、无套利均衡需要注意的是:仅仅因素模型本身还不是一种资产定价的均衡模型,如果均衡存在就必须假定不存在套利机会。套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一。但是套利究竟是什么呢?简单地说它是“一物一价法则”(1awofoneprice)的应用。例如在旧货市场上有人愿意用200块钱买入一只老款的机械表,而有人愿意以150块卖出时,就意味存在着套利机会。精明的商人或者说套利者(arbi