2019 2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.2三角恒等变换的应用学案新人教a版必修第一册.docx

第2课时三角恒等变换的应用题型一三角恒等变换与三角函数性质的综合【典例1】已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.[思路导引] 先降幂,再用辅助角公式化为Asin(ωx+φ)的形式,从而研究三角函数的性质.[解] (1)∵f(x)=sin+2sin2=sin+1-cos=2+1=2sin+1=2sin+1,∴f(x)的最小正周期为T==π.(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,有2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),∴所求x的集合为.(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数,这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数,为讨论函数性质提供保障.[针对训练](x)=2sin(x-3π)·sin+2sin2-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.[解] f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.(1)f(x)的最小正周期为π;最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=∵f(x0)=,∴sin=.由x0∈,得2x0+∈,∴cos=-=-,cos2x0=cos=coscos+sinsin=.题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?[思路导引] 在△AOB中利用∠AOB表示OA,AB的长,然后表示出矩形面积:2OA·OB,从而得到面积与角间的函数关系,再通过求函数的最值得到面积的最值.[解] 画出图象如右图所示,设∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=,则S=2OA·AB,即S=2acosθ·asinθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ.∵θ∈,∴2θ∈(0,π),当2θ=,即θ=时,Smax=a2,此时,A,,建立含有角α的三角函数关系式,再利用三角函数的变换、,一般需利用三角函数的有界性来解决.[针对训练]°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1m,求割出的长方形桌面的最大面积(如右图).[解] 连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°,OC=1.∵AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,∴S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-(1-cos2θ)+sin2θ=(sin2θ+cos2θ)-=cos(2θ-45°)-.当2θ-45°=0°,即θ=°时,Smax=(m2).∴+bcosx=sin(x+φ),其中φ满足:(1)φ与点(a,b)同象限;(2)tanφ=(或sinφ=,cosφ=).(x)=asinx+bcosx的函数性质,,,b应熟练掌握,例如sinx±cosx=sin;sinx±cosx=(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)是( )[解析] ∵f(x)=-=-cos2x∴最小正周期T==π,且为偶函数.[答案] =sin2x+sin2x,x∈R的值域是( ).[解析] y=sin2x+=sin+∈,故选C.[答案] (x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是( )[解析] 由f(x)=sinx(cosx-sinx)=sinxcosx-sin2x=sin2x-=sin-,可得函数f(x)的最小正周期为T==π,故选C.[答案] (x)=sinx-cosx,x∈的最小值为______.[解析] ∵f(x)==sin,∵x∈,∴x-∈,∴f(x)的最小值为sin=-1[答案] -1课后作