2019 2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件学案新人教a版必修第一册.docx

、、,:(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p,则q”,则首先将命题改写成“若p,则q”的形式.(2)不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.1.“对角线相等的平行四边形是矩形”(1)这个命题是真命题吗?(2)将命题改写为“若p,则q”的形式.(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件.[答案] (1)是真命题(2)若平行四边形的对角线相等,则这个四边形为矩形(3)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“集合{a,b,c}有3个子集”是命题.( )(2)若p是q的充分条件,则p是唯一的.( )(3)若q是p的必要条件,则由p推出的结论q是不唯一的.( )(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件.( )[答案] (1)× (2)× (3)√(4)×题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p,则q”的形式,并用充分条件、必要条件的语言表述:(1)两个全等三角形的对应高相等;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.[解] (1)若两个三角形是全等三角形,则它们的对应高相等,所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件;“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件.(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形,所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件;“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件.(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解:i)所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.ii)充分条件不是唯一的,如x>2,x>3都是x>0的充分条件.②对必要条件的理解:i)所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.ii)必要条件不是唯一的,如x>0,x>5等都是x>9的必要条件.(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步:分析定理的条件和结论;第二步:将定理写成“若p,则q”的形式;第三步:利用充分、必要条件的概念来表述定理.[针对训练]“若p,则q”的形式,并用充分、必要条件的语言表述:(1)对顶角相等;(2)在平面直角坐标系中,关于y轴对称的两个点的纵坐标相同.[解] (1)若两个角是对顶角,则两个角相等,所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件;“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件.(2)在平面直角坐标系中,若两点关于y轴对称,则这两个点的纵坐标相同,所以在平面直角坐标系中,“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件;“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?(1)p:x>1,q:x2>1;(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;(3)已知:y=ax2+bx+c(a≠0),p:Δ=b2-4ac>0,q:函数图象与x轴有交点.[思路导引] 判断“若p,则q”命题的真假及“若q,则p”命题的真假.[解] (1)由x>1可以推出x2>1,因此p是q的充分条件;由x2>1,得x<-1,或x>1,不一定有x>,p不是q的必要条件.(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p不是q的充分条件;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=,p是q的必要条件.(3)二次函数y=ax2+bx+c,当Δ>0时,其图象与x轴有交点,因此p是q的充分条件;反之若函数的图象与x轴有交点,则Δ≥0,不一定是Δ>0,因此p不是q的必要条件. 充分、必要条件的判断方法(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p⇒q和q⇒p是否成立,最后得出结论.(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,,p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,即p⇒q,只是说法不同而已.[针对训练],p是q的充分条件的是________.(1)p:“x=1”,