福建省高一数学竞赛试题.doc

福建省高一数学竞赛试题.doc2015年福建省高一数学竞赛试题(考试时间:5月10日上午8:30-11:00)一、选择题(每小题6分,共36分)()【答案】C【解答】由,知,结合,得。∴的子集有个。:关于直线对称,则与两坐标轴围成的三角形的面积为().【答案】D【解答】在直线:取点,则关于直线的对称点在直线上。又直线与直线的交点在直线。∴过和两点,其方程为。∴与坐标轴交于和两点,与坐标轴围成的三角形的面积为。:(1)若,为异面直线,则过空间任意一点,总可以找到直线与,都相交。(2)对平面,和直线,若,,则。(3)对平面,和直线,若,,则。(4)对直线,和平面,若,,且过平面内一点,则。其中正确的判断有()【答案】B【解答】(3)、(4)正确;(1)、(2)不正确。对于(1),设,过和的平面为,则当点在平面内,且不在直线上时,找不到直线同时与,都相交。,已知正方体,为中点,则二面角的正切值为()【答案】D【解答】如图,作于,作于,连结。由为正方体,知,。又。因此,,。∴为面角的平面角。设正方体棱长为,则,。第4题答题图图∴。,,,为中点,动点满足条件:,则线段长的最小值为()【答案】B【解答】以所在直线为轴,为坐标原点,建立平面直角坐标系。则、、。设,由,知。∴,即,化简,得。∴。∴时,有最小值2。此时,。,,,,则,,,的大小关系为().(必要时,可以利用函数在上为增函数,在上为减函数)【答案】A【解答】,。设,由在上为增函数,在上为减函数,得,于是。∴,即,于是,。又显然,,。于是,。二、填空题(每小题6分,共36分),为偶函数,且,则。【答案】【解答】依题意,有…………①,。由为奇函数,为偶函数,得。…②①②,得,。:的倾斜角为,若,则的取值范围为。【答案】【解答】当时,;当时,,解得;当时,,解得。∴的取值范围为。,在三棱锥中,,,,为等边三角形,则与平面所成角的正弦值为。第9题图【答案】【解答】如图,作于,则就是与平面所成的角。∵,,∴。设,则。又,。第9题答题图∴,。或求出外接圆半径后,再求解。。【答案】【解答】由,知,或。∴的定义域为。∵和在上都是减函数,在上都是增函数。∴在上是减函数,在上是增函数。∴的最小值是与中较小者。∵,。∴的最小值是。(,且)在区间上的最小值为,则在区间上的最大值为。【答案】10【解答】设,则在上为增函数。时,,在上为增函数。∴,。。时,,在上为增函数。∴,。。,满足条件:,则的最小值为。【答案】【解答】由条件知,,,因此,,。由对称性,不妨设,则。设,代入,消并整理,得。…………①由①的判别式,得或。由知,,。又时,①化为,得,此时,符合。∴的最小值为。因此,的最小值为。三、解答题(第13、14、15、16题每题16分,第17题14分,满分78分),已知点,,且它的内切圆的方程为,求点的坐标。【答案】易知直线于圆相切,直线、的斜率存在。设直线的方程为,即。由直线与圆相切,知,解得。∴直线的方程为。………………………8分设直线的方程为,即。由直线与圆相切,知,解得。∴直线的方程为。……………………12分由,解得。∴点的坐标为。…………………………(,,),且对任意实数,恒成立。(1)求证:;(2)若当时,不等式对满足条件的,恒成立,求的最小值。【答案】(1)∵对任意实数,恒成立,∴对任意实数,,即恒成立。∴,即。…………………4分∴,。………………………8分(2)由以及(1)知,。∴恒成立,等价于恒成立。…………12分设,则。由,知的取值范围为。∴,的最小值为。………………………,、分别是的中线和高线,、是外接圆的切线,点是与圆的交点。(1)求证:;(2)求证:平分。【答案】(1)由为圆切线,知。∵、是圆的切线,为中点,∴、、三点共线,且。第15题图∴,。∴。………………4分∵,为中点,∴,。∴。于是,。又∵。第15题答题图∴。………………8分(2)延长交圆于点,连结,,。由,知.∴,。………………12分又为中点,。∴。∴,。∴平分。…………………16分(2)或解:连结、、、。由,,知。又由切割线定理知,,第15题答题图∴。∴、、、四点共圆。………………12分∴。又于,因此,。∴平分。………………………,,()为的三边长,且,求的最小值。其中表示的小数部分,即(表示不超过的最大整数)。【答案】由,知(即,,,被15除的余数相同。)……………………