破解折叠问题的“三步曲”--08-6--1.doc

折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形,考察由此产生的位置关系和数量关系,因为是从平面跃然而到空间思维跨度大,由静到动,能综合考查学生的空间想象能力,识图能力及分析能力,是近年来高考的热门题型,要解决好此类问题笔者认为应从以下三点着手:第一步:看两图两图指折叠前的平面图形和折叠后的立体图形,有时候题目中可能只给出平面图形,这就需要我们自己去画立体图形,我们应该对比两个图形,思考下面的问题;折痕是哪些直线?折痕与折叠特征是折叠问题的两大要素,是引发后面问题的“罪魁祸首”,呵呵,这么说只是强调一下折痕的重要地位,盐打哪儿咸,醋打哪儿酸,解决折叠问题的思维起点,位置与数量关系的变化皆与折痕有关,要明确一点:位于折痕同一侧的点,线的关系是不变的;折叠前后哪些点重合了?重合的点往往意味着重合的线段,即立体图形中明明是一条线段,但在原来的平面图形中则是两条相等的线段。折叠前后哪些点或线不在原平面而被翻折到了空间?第二步:挖掘折叠特征折叠特征就是把平面图形翻折要实现的目的,它是解题的一个重要已知条件,我们应该充分理解、挖掘这个特征,常见的折叠特征有以下三种:(1)将平面图形折叠成某个度数的二面角,比如直二面角,这种情况我们就应该找到这个二面角的平面角,在立体图中标出;(2)使几个点重合,这种情况我们就应该标出哪些点重合的;比如若A,B两点重合记为点P的话,我们可以在图上标记为P(A,B),这样便于翻折前后的对比;(3)使指定的两个点的距离是某值,那么我们应该连接相关的点;第三步:结合问题,寻找不变量通过前两步,我们已经对翻折过程有了比较清晰的了解,对翻折得到的立体图形的空间形态也有了全方位的认识,那么最后一步,就是结合问题,充分利用翻折前后图形的性质来寻找解题的途径,而其中翻折前后的“不变量”往往是解题的关键,常见的不变量有“不变的垂直关系,不变的长度关系,不变的平行关系“这三类,当解题受阻时就应该思考“哪些量是不变的?”,可以说找到了不变量就找到了解题的钥匙!上述三步曲是解决折叠问题的总的规律,在实际解题中应灵活运用,下面举例说明在解题中,我们如何走好这“三步”,重点来看一下三种“不变量”是如何在解题中运用的:一、不变的垂直关系例1:如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,将和沿DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,求求证:;(2)二面角P-CD-E的度数;分析:从翻折的过程可以看出,这两个垂直关系是不变量,而翻折后A,B重合为P,故在立体图中有,问题得解;解:(1)由翻折过程可知,,故;(2)取CD中点F,连接PF,FE,在原平面图形中,AD=BC,ED=EC,翻折后A,B重合为P,故PD=PC,可知,则是二面角P-CD-E的平面角,设正方形边长为a,得,,,则二面角P-CD-E的度数为30°二、不变的长度关系例2(2007安徽文)把边长为的正方形沿对角线折成直二面角,折成直二面角后,在四点所在的球面上,与两点之间的球面距离为( )A. C. B. :原题是没有图的,需要我们自己画出前后两个图形,折叠特征是直二面角,哪个角是它的平面角?这两组垂直关系是不变的,故就是二面角的平面角,则,那么如何确定A,B,C,D四点所在的球心呢?找不变量!通过比较两图可以发现,折叠前A、B、C、D四点是共面的,翻折后不再共面,这是变化的量,而