高中数学联赛辽宁省初赛试题汇编.doc

高中数学联赛辽宁省初赛试题汇编.doc2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题选择题(本题满分30分,每小题5分)已知集合,,当时,实数m的取值范围是()AB或CD或过原点的直线交双曲线于两点,其中点在第二象限,将下半平面沿轴折起使之上半平面成二面角,线段的最短长度是()。ABCD设均为非零复数,令,若,则的值为()ABCD设是上的单调函数,且对任意,都有,若是方程的一个解,且,,则的值为()A1B2C3D4内直径为,高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是()A30B33C36D39已知实数满足,则的最大值是()。ABCD3填空题(本题满分30分,每小题5分)若,,则的最大值是。长方体中,,,则异面直线与的距离为。椭圆,的离心率为,斜率为1且过点的直线与椭圆交于两点,设为坐标原点,若,则该椭圆的方程是。将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中,使得至多有3个空盒子的放法有种。已知函数,设方程在区间内所有实根的和为,则数列的前n项和为。数列中,,,则此数列的通项公式。解答题设关于的方程有两个实根,函数。求的值;判断在区间的单调新,并加以证明;若均为正实数,证明:。已知数列满足,,。若恒成立,求的取值范围;若,求证:。,锐角△ABC中,,且点D和E在边BC上,满足BD=CE,若在△ABC内存在点P满足PD//AE,且∠PAB=∠EAC,证明:∠PBA=∠PCA。设点P为圆C1:上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点满足。求点M的轨迹方程。过直线上的点T做圆C2的两条切线,设切点分别为A、B,若直线AB与(1)中的曲线C2交于C、D,求的取值范围。答案:选择题BDCBCA二、填空题题号789101112答案4212解答题2012年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题选择题(每小题5分,共30分)用1,2,3三个数字组成四位数,要求,三个数字都要出现,且相同的数字不相邻,这样的四位数共有()个A24B18C15D12设,其中,则所有的交集为()。ABCD是定义在上的函数,对任意,有。记,,则()。ABCD设双曲线,的右焦点为F,过F做x轴垂直的直线与两条渐近线交于A、B两点,P是与双曲线的一个交点,设O为坐标原点,若实数m、n,使得,且,则该双曲线的离心率为()ABCD在△ABC中,设,,。则等式,成立的充分必要条件是()ABCD设,则当,且使得二次方程的一个根大于1,一个根小于1的概率是()ABCD填空题(每小题5分,共30分)设,则S在复平面内所对应区域的面积是。。设函数,,。则。不等式的解集为。已知点P在曲线上,点Q在曲线上,则的最小值是。四面体ABCD中,已知,∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°。若过D与平面ABC相切并且与该四面体的外接球面相内切的球面半径为1,则四面体ABCD外接球面相内切的球面的半径为1,则四面体ABCD外接求免的半径为。解答题(每小题20分,共80分)设实数满足,,证明:。已知中心在原点O、焦点在x轴上、离心率为的椭圆过点。设不过原点O的直线与该椭圆交于点,且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围。如图1,已知PA、PB是由圆O外一点P引出的两条切线,M、N分别是线段AP、AB的中点,直线MN与圆O交于点C、E,点N在M与C之间,PC与圆O交于点D,延长ND与PB交于点Q,证明:四边形MNQP为菱形。设递增数列满足,,。求数列的通项公式;证明:。答案:(本题满分30分,每小题5分)1.(B).2.(C).3.(C).4.(A).5.(D).6.(A).(本题满分30分,每小题5分)7..8..9..10..11..12...(本小题满分20分)证明:假设,,……………………(5分)由于单调递减,,且,故.…………………………(10分)由得,即.…………………………(15分)由于单调递减,,,,与矛盾,所以,.……………………(20分)OPQyx14.(本小题满分20分)解:由题意可设椭圆方程为,由得,所以,椭圆方程为.……………………(5分)由题意可知,直线的斜率存在且不为,故可设直线的方程为,满足,消去得.,且,..……………(10分)因为直线,,的斜率依次成等比数列,所以,,即,又,所以,即.……………………(15分)由于直线的斜率存在,且,,则,所以的取值范围为.……………………(20分)15.(本小题满分25分)证明:连结,显然三点共线,且,所以是中点,由是的中点,故,. ……………………(5分),所以∽,.……………………(10分)又四点共圆,,故四点共圆,.……………………(15分)是直角三角形,有,于是四点共圆.……………………(20分),所以,四边形是菱形. ……………………(25分