第十三讲循环问题.doc

小朋友们,你留意过循环问题吗?在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中,也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时,我们不仅要判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,而更重要的是看它的余数。如1999年元旦是星期五,2000年元旦是星期几?因为1999年是平年,有365天,365÷7=52……1,所以2000年的元旦是星期六。这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么,就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。典型例题例[1]流水线上给小木球涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后又依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白……像这样继续下去,到第2003个小球该涂什么颜色?分析小木球涂色的次序是:“5红,4黄,3绿,2黑,1白”,也就是每涂过“5红,4黄,3绿,2黑,1白”循环一次,给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15,根据余数就可以判断球的颜色。解2003÷15=133……8这就是说,第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个,所以第2003个小球涂的是黄色。例[2]有一列数:7,0,2,5,3,7,0,2,5,3,… 第81个数是多少?这81个数相加的和是多少?分析(1)从排列可以看出这组数是按7,0,2,5,3依次重复排列的,那么一个循环周期就有5个数。之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数,即可得到答案。解(1)81÷5=16……1按照循环次序可知:第81个数为7。(2)17×16+7=279所以这81个数相加的和为279例[3]假设所有自然数排列起来如下图所示,55应排在哪个字母下面?248应排在哪个字母下面?ABCD123456789101112............分析从排列情况可知,这些自然数按从小到大4个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面,我们可以根据这些数除以4的余数来判断。解55÷4=13……3所以55排在第3个字母C的下面。248÷4=62所以248排在第4个字母D的下面。例[4]如下图,8个队员围成一圈做传球游戏,从1号开始,按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到96时,球在几号队员手上?分析把8个队员看成一组,解法与例[3]相同。解96÷8=12所以报96时,球应在8号队员手上。例[5]2003个学生按下列方法编号排成5列:一二三四五1234598761011121317161514……………………问:最后一位学生应站在第几列?分析观察这些学生排列的情况可以看出,除1~5外,从第2排起都是按8个数一个循环依次不断重复出现。因此,除以8余数为1、2、3、4、5、6、7、0对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。解(2003-5)÷8=249……6因此,第2003个学生站在第3列。小结解决循环问题时,应把注重点放在以下几个方面:数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。每几个数循环一次,周期长度是多少。每个循环节是按什么次序排列的