第9讲函数模型及其应用.doc

(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与指数函数相关模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)(2)三种函数模型性质比较函数性质 y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)=x+”型函数模型形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,在现实生活中有着广泛的应用,常利用基本不等式、导数、【例1】(2013·湖北卷,文)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,( ).解析小明匀速运动时,所得图象为一条直线段,且距离学校越来越近,,与学校的距离不变,, C规律方法抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.【训练1】如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,,其中不正确的有( ).,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故上面的图象不正确,②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率逐渐变慢,然后逐渐变快,正确;④中的变化率逐渐变快,然后逐渐变慢,也正确,故只有① A考点二二次函数模型【例2】(2014·德州一模)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,.(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20).令t=(0≤t≤2),则y=+t=-(t-2)2+3,所以当t=2,即x=16时,收益最大,ymax=第34页规律方法二次函数模型的应用比较广泛,解题时,根据实际问题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.【训练2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解(1)每吨平均成本为(万元).则=+-48≥2-48=32,当且仅当=,即x=200时取等号.∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)(x)=40x-y=40x-+48x-8000=-+88x-8000=-(x-220)2+1680(0≤x≤210).∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210时,R(x)有最大值为-(210-220)2+1680=1660.∴年产量为210吨时,【例3】(2014·郴州模拟)某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x)=(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与