高等数学微积分 微分中值定理与导数的应用版本.pptx

1微分中值定理与导数的应用第四章2微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理是它的特例,柯西定理是它的推广。——费马(Fermat)定理费马(Fermat,1601-1665),法国人,与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理3几何解释:4证明:5几何解释:(Rolle)定理xOyCxaby=f(x)AB如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么,在曲线弧上至少有一点C(x,f(x)),曲线在C点的切线平行于x轴。如果函数yf(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)f(b),则至少存在一点x(a,b),使得f(x)0。6证由费马引理,7注意:f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论就可能不成立。8例1验证9例2不求导数,判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点,以及其所在范围。解f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1,2],[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1,使f(x1)=0,x1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2,使f(x2)=0,x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间(1,2)及(2,3)内。10如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点x(a,b)内,使得几何意义:C2hxOyABaby=f(x)(Lagrange)中值定理