线性变换的矩阵表示式.doc

§5   线性变换矩阵表示式上节例10中,,考虑到(为单位坐标向量),即可见如果线性变换有关系式,,如果一贯个线性变换使,那么必有关系式总之,中任何线性变换,都能用关系式表示,,我们有定义7  设是线性空间中线性变换,在中取定一个基,如果这个基在变换下象(用这个基线性表示)为记 ,上式可表示为                   ,                 (5)其中那么,,,也就是给出了这个基在变换下象,那么根据变换保持线性关系特性,我们来推导变换必须满足关系式:中任意元素记为,有即                       (6)这个关系式唯一地确定一个变换,。以为矩阵线性变换由关系式(6),在中取定一个基以后,由线性变换可唯一确定一个矩阵,由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换,这样,(6),可见与在基下坐标分别为即按坐标表示,有      .例11               在中,    所以在这组基下矩阵为例12               在中,表示将向量投影到平面线性变换,即 (1)      取基为,求矩阵;(2)      取基为,   (1) 即         (2)  即  由上例可见,同一个线性变换在不同基下有不同矩阵,一般地,我们有定理3  设线性空间中取定两个基:,由基到基过度矩阵为,中线性变换在这两个基下矩阵依次为与,那么.    证  按定理假设,有 可逆;及       于是   因为线性无关,所以                       证毕这定理表明与相似,                  :  即   求得  于是在基下矩阵为定义8  线性变换象空间维数,,若是矩阵,则秩就是.,若秩,则核维数为.“线性变换与矩阵一一对应”最佳匹配