微分方程模型差分模型.ppt

微分方程模型及差分模型洛阳理工学院数理部 2012-3-17 1 Anna微分方程模型?人口增长的预测?传染病模型?种群模型 2012-3-17 2 Anna 动态模型?描述对象特征随时间(空间)的演变过程. ?分析对象特征的变化规律.?预报对象特征的未来性态.?研究控制对象特征的手段.?根据函数及其变化率之间的关系确定函数. 微分方程建模?根据建模目的和问题分析作出简化假设. ?按照内在规律或用类比法建立微分方程. 2012-3-17 3 Anna微分方程模型?高等数学课程里的微分方程应用题:大多是物理或几何方面的典型问题,假设条件已经给出,只需用数学符号将已知规律表示出来,即可列出方程,求解的结果就是问题的答案,并且答案是唯一确定的. ?这里讨论的动态模型:要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件;作出不同的假设,就会得到不同的方程(模型);结论也不是确定的、唯一的,求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验. 2012-3-17 4 Anna对微分方程的研究方法?解在很广泛的条件下存在,但能用有限解析式表达者很少. ?另辟它径: ?1、求数值解(近似解); ?2、定性方法分析. ??, , : n n dx f t x f I D R R R dt ? ???? 2012-3-17 5 Anna微分方程平衡点问题 1 ,一阶微分方程我们主要讨论右端不显含自变量 t 的?? xf dt dx?(1) ???? 0 x 0 1 f x x ? ?我们称代数方程的实根为方程的(奇点),它也是方衡点程平的解。?? t t 1 t : x ?? ??在实际问题中,我们不仅要得到问题的解, 有时还要得到(均指)时问题的解的变化趋势,如果从一定范围内的初始条件出发,方程()的解都满足 0 ( ) x t x ????? t 0x稳定的则称平衡点是,否则是不稳定的。 0 ( ) lim ( ) t x x t x t x ??? ?实际中,判断平衡点的稳定性有两种方法: 。(又称定义法):先求出方程的解,利用定义来判断。:不用求方程的解直接研究其稳定性。当不易由定义判别平衡点是否稳定或解间不接方法和直易求出时用接方法这种方间接方法直法。方接方法法如下: ?? 0 x Taylor x f 首先,在处将作一阶展开, 即方程可以近似表示为???? 00xxxfdt dx????? 2???? 2 2 ox易知是方程的平衡点,则的通解为:???? 0 0x ce tx txf???是否稳定有以下结论: 关于 0x???? 0 0 0 0 1 0, 2 0, f x x f x x ????若则平衡点是稳定的。若则平衡点是不稳定的。???? 00xxxfdt dx??????? 0 0x ce tx txf??????? 0 0 0 dx f x x x f x dt ? ?? ??? 01 dx f x dt x ???? 0 ln ln x f x t C ?? ? 0 ( ) f x t x Ce ???? 0dx f x x dt ??对应齐次对应齐次常数变易,设常数变易,设 0 ( ) ( ) f x t x C t e ?????? 0 0 0 ( ) f x t C t x f x e ??? ??????? 00 f x t C t x e C ??? ?