平面向量的数量积及运算律.ppt

庆阳六中§数量积及运算律§;;、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题Ⅰ.,,三个运算律平面向量数量积(内积)的定义代数性质(两个向量的数量积的性质)实数的运算律向量数量积运算律(交换律)ab=ba(结合律)(ab)c=a(bc)(分配律)a(b+c)=ab+ac√×√√三个运算律[例1]已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·:由数量积的定义可知,它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积,只要能求出它们的夹角,就可求出a·:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18;若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,∴a·b=0;③当a与b的夹角是60°时,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×cos60°=9注意:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能.[例2]已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,(a+3b)⊥(7a-5b)(a+3b)·(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0……①解:又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0……②①-②得46a·b=23b2即有a·b=b2=|b|2[例2]已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,①可得:∴若记a与b的夹角为θcosθ=又θ∈[0°,180°],∴θ=60°所以a与b的夹角为60°例3∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2∵a+b+c+d=0,即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2由于a·b=c·d,∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2①同理有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2②由①②可得|a|=|c|,且|b|=|d|:∴四边形ABCD是平行四边形