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广义变分原理及其应用.ppt


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(复****1)虚位移原理的虚功方程——矩阵表达δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV体积力虚功表面力虚功虚变形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虚功方程——)势能原理的数学表达Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=)虚力原理的表述给定位移状态协调的充分必要条件为:对一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成立(矩阵)∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]——张量表达∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2)必要性证明εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklσklV:δσij,j=0Sσ:δσijnj=0已知条件:[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]V:δ[σ]=[0]Sσ:[L]δ[σ]=[0]需证明的是:∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或张量表达形式已知条件:∫V([A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T[u]dS-∫V([A]δ[σ])T[u]dV1/2∫V(ui,j+uj,i)δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫Vδσij,juidV[证明]:利用格林公式或张量形式格林公式考虑到虚应力的已知自平衡条件,立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性证毕。)充分性证明V:δσij,j=0Sσ:δσijnj=0已知条件:[ε]=[D]-1[σ]需证明的是:应变εij是协调的。或张量表达形式εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dSV:[A]δ[σ]=[0]Sσ:[L]δ[σ]=[0][证明]:因为V:[A]δ[σ]=[0],所以对任意[λ]∫V([A]δ[σ])T[λ]dV=[0]、独立,另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意,因此可设∫V([D]-1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T([λ]-[u]0)dS=0(a)在此条件下,式(a)由于虚应力的任意、独立性可得V:[D]-1[σ]-[A]T[λ]=[0]Su:[λ]-[u]0=[0]充分性证毕。,由虚力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T[σ]dV-∫Su([L][σ])T[u]0dS)=0记VC如下所示,并称为变形体的总余能VC=1/2∫V[ε]T[σ]dV-∫Su([L][σ])T[u]0dS则由δVC=0可得在一切可能的静力平衡状态中,某应力状态为真实应力的充要条件是,变形体的总余能取驻值。对线弹性体,此驻值为最小值。,表达为VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式,立即可证明Ve+VC=(龙驭球提出)简单来说,势能原理等价平衡,表达为Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=),泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij是泛函变量,其他是增广变量。泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。在势能泛函Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS中ui是泛函变量,其他是增广变量。

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  • 时间2020-05-16