一阶线性微分方程组.doc

临沂师范学院精品课程-------?1?f(x,y,y,,y)??n121dx?dy?2?f(x,y,y,,y)??212ndx的方程组,()一阶微分方程组:?????dy?n?f(x,y,y,,y)??n2n1dx?y,y,,y?x(其中的未知函数)叫做一阶微分方程组是关于。n12y(x),y(x),,y(x)?若存在一组函数使得在[a,b]上有恒等式n12dy(x)if(x,y(x),y(x),,y(x))(i1,2,,n)????成立,则n21idx),y(xy(x),y(x),?称为一阶微分方程组()的一个解n21C,,C,C?任意常数含有n的解n12?(x,C,C,y?,C)??n1121??(x,C,Cy?,,C)??2212n??????)CC,,(x,C,y???n31n2称为()通解。如果通解满方程组?(x,y,y,,y,C,C,,C)?0???n211n21??(x,y,y,,y,C,C,,C)?0???212n12n?????0)?C,,Cyyx,,y,,,C,(????n21n12n。)的通积分则称这个方程组为(y(x)?y,y(x)?y,?,y(x)?y,的解,叫做初值问题满足初始条件0n20n0010102的解。n令维向量函数1临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练f(x,y,y,,y)y(x)?????n1121????)(y)xy(x,y,y,,f?????2n122x)(xF(=,Y)=Y,??????????)(xy),yy,y,f(x,?????nnn12dy??x??1?dx(x)f??dx??1x??0??dyx???2dx(x)f)xdY(??x??2???)F(xdx,x??0dx??x0??????????xdy?dxf(x)??n??n??xdx??0)可记成向量形式则(?F(x,Y),()dx初始条件可记为y??10??y??20Yx?Y)=(其中,Y000?????y??no:则初值问题为dY??F(x,Y)?dx()??Y)?Y(x?00dy?1?a(x)y?a(x)y??a(x)?f(x)??1111211n2dx?dy?2)x?f(?a(x)?a(x)ya(x)y????22n211222dx()一阶线性微分方程组:形如?????dy?n?a(x)y?a(x)y??a(x)?f(x)??n2nn1n12n1dx?的一阶微分方程组,(x)??1a(x)a(x)?????111n)(xf????2x)x??(A()==及F???????)xa(xa()?????n1nn)x(f??n的向量形式则():2临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练dY?A(x)Y?F(x)()dxdYY)(x?A0x)?()F(时dx,称为一阶线性齐次方程组式称为一阶线性非齐次方程组。()aa?a??1n1112??aaa???2n2221,)的每一个元素都为常数x?Ax)?(即A在()式A(??????aaa???n1nnn2dY?AY?F(x)()?AY()(一阶线性微分方程组解存在唯一性定理):如果线性微分方程组dY????xbab,a,)(xA(x)Y?F?)x((x)上连续,以I=及则对于F中的A在区间上任一点0dxdY??b,a)xx)Y?F(?A(上存在且唯的满足初始条件的解在Y及任意给定的,方程组0dx一。1)向量函数线性相关性及其判别法则Y(x),Y(x),Y(x)?定义:设是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m12C,C,?,C,CY(x)?CY(x)??CY(x)?0?使得m个不全为零的常数m221m2m11恒成立,则称这m个向量函数在区间I上线性相关;否则它们在区间I上线性无关。判别法则:①定义法②朗斯基(Wronski)行列式判别法:对于列向量组成的行列式)(xx)yy(?n111W(x)???)(yx(yx)?nn1n)x(x),xY(),Y(Y?维向量函数组通常把它称为个nn行列式。)(的朗斯基Wronskin123临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练Y(x),Y(x),Y(x)?维向量函数组n如果个n定理1在区间I线性相关,则们的朗n21W(x)在I斯基(Wronski)行列式上恒等于零。逆定理未必成立。如:22x??x??Y(x)?Y(x)?????2100????W(x)在朗斯基行列式I上恒等于零,