曲面与空间曲面的总结.doc

曲面与空间曲线得总结曲面与空间曲线一、曲面及其方程:1、曲面方程得一般概念:定义:若曲面上得点得坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0,而满足此方程得点都在曲面上,则称此方程为该曲面得方程,而曲面称为此方程得‘图形’。例1:求与A(2,3,1)与B(4,5,6)等距离得点得运动规迹。解:设M(x,y,z)为动点得坐标,动点应满足得条件就是|AM|=|BM|由距离公式得整理得此即所求点得规迹方程,为一平面方程。2、坐标面及与坐标面平行得平面方程:①坐标平面xOy得方程:z=0②过点(a,b,c)且与xOy面平行得平面方程:z=c③坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行得平面方程:x=0;y=0;x=a;y=b3、球面方程:①球面得标准方程:以M0(x0,y0,z0)为球心,R为半径得球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2②球面得一般方程:x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程得特点:平方项系数相同;没有交叉项。例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示得曲面解:整理得:(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2得球。4、母线平行于坐标轴得柱面方程:一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成得轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面得母线,定曲线c称为柱面得准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴得柱面方程。此时有以下结论:若柱面得母线平行于z轴,准线c就是xOy面上得一条曲线,其方程为F(x,y)=0,则该柱面得方程为F(x,y)=0;同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴与x轴得柱面。分析:母线平行于坐标轴得柱面得特点为:平行于某轴,则在其方程中无此坐标项。其几何意义为:无论z取何值,只要满足F(x,y)=0,则总在柱面上。圆柱面几种常见柱面:x+y=a平面;椭圆柱面;双曲柱面;抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴得情况,其她情况类似。4、旋转曲面:一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内得定直线l旋转一周所成得曲面称为旋转曲面。其中c称为母线,l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置得曲面。此时有以下结论:设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0,将c绕z轴旋转一周,所得到得以z轴为轴得放置曲面得方程为:同理,曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为:同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面例3求顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为a得圆锥面方程。解:将yOz面上得直线z=yctga绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得:其中a=ctga二、空间曲线及其方程:1、空间曲线得一般方程:空间曲线一般可瞧作两个曲面得交线,若两个曲面得方程分别为F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0,则易知其交线c得方程为称此方程组为曲线c得一般方程。表示怎样得曲线?例4:方程组解:平面z=2上以(0,0,2)为圆心得单位圆。例方程表示怎样曲线解:表示中心在原点,半径为1得上半球面表示母线平行于Z轴,准线在xoy面上它们得交线就是xoy面上得一个圆,半径为1得圆柱面其圆心在,半径为2、空间曲线得参数方程:设空间曲线方程如果选定一个适当得函数x=x(x)代入上述方程