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一类行列式的界的探索王崇(学号:B)指导老师:林磊摘要本文确定了阶数值矩阵的行列式的行列式的绝对值:,行列式,、引子已知:阶方阵的行列式,.求证:当时,.证明:对行列式的阶用数学归纳法:(1)时:记,为中-1的个数,,且,:(i)没有,则行列式的绝对值等价于:;(ii)只有一个,则此时等价于:.由(i)、(ii)可知:当时,.而当时:.故,当时命题成立.(2)假设时命题成立,即有:.当时:(),,由(1),(2)可得:对于任意有:,并且放缩的幅度比较大,所得的结论并非是最优的!:先用计算机计算得出3,4,5,6,7阶时的行列式可能的最大值以及此时对应的矩阵,、编写程序并计算用计算机计算编写的程序的主要思想是:使用穷举法找出每一个可能的矩阵,并计算出他们的行列式的绝对值,同时比较出大小,:对方阵的每一行进行考虑,可能的情形有8种包括:[1,1,1,1;-1,1,1,1;1,-1,1,1;1,1,-1,1;1,1,1,-1;-1,-1,1,1;-1,1,-1,1;-1,1,1,-1],,就可以使用穷举法得出所有可能的方阵:程序的实现方法是从以上八种行的形式中每次取出四种(不重复),并将其还原成方阵(这样就能取到所有可能得四阶方阵),同时算出该方阵的行列式的绝对值,:.:4阶是16,5阶是48,6阶是160,,9,、观察并猜想规律由以上数值计算,,在计算中发现-1占优矩阵(即除对角线元素为-1,其余元素为1):阶数1234567计算结果1241648160720猜想结果([])1251655216907优化前结论()014**********-1占优矩阵1041648128320四、证明猜想说明:为简明见,若不特别说明,以下文章中“A0”::1)任意,;2)任意,.证明:1)()只要取,那么由:可得:()由,则存在使得:那么:.2)要证:任意,或者:这由1):证明:当时,,再由所以那么:,以及定理1,有:从而:,由于从而存在正交阵,使得:对角化,(*)其中那么:=.由于所以:,(*)式,可知:而:所以,.引理1:设那么(由此可知,半正定矩阵的一切主子块也是半正定的).证明:由于取由以上定理1知:同理可证:引理2:在引理1的假设下,如果存在,那么:证明:取那么,仍由定理1知:再由引理1,得到:类似可证:引理3:在引理2的假设下,有:(1)证明:由引理1及引理2知:,,由于存在,,从而由是对称阵.,这样,由定理1得:或者:那么,由定理2,即得:.定理3:设那么:(2)证明:分两种情况证明,当时,(2),再由从而,这时且,也即从而存在,由分块阵之逆以及上面不等式(1),有:推论1:设其中,均为方阵,那么:.推论2:(Hadamard定理)设:那么:.即,:(Hadamard定理):.证明:这里是任意阶方阵,那么:.由上面推论2:.推论4:(Hadamard定理)设,如果,那么:.(其中表示行列式的绝对值).猜想证明:.故,由推论4可得:.说明:当且仅当为Hadamard矩阵时,等号成立,此时,.结论:对于阶矩阵,[1]程云鹏,矩阵论[M],西北工业大学出版社,2000.[2]钱吉林,李照海,矩阵及其广义逆[M],华中师范大学出版社,1988.[3]陈景良,陈向晖,特殊矩阵[M],清华大学出版社,2001.[4]廉庆荣,邓健新,刘秀兰[译],矩阵计算[M],大连理工大学出版社,1988.[5]李涛,贺勇军,刘志俭,Matlab工具箱应用指南-应用数学篇[M],电子工业出版社,2000.[6]张宜华,精通MATLAB5[M],清华大学出版社,:heminimumboundofabsolutionofdetermina