第11章 环的定义及性质 PPT.ppt

第三章环与域主要内容:环的定义与性质无零因子环的特征数子环、理想子环与商环环的同态基本定理极大理想1第11节环的定义及性质主要内容:环的定义与性质零因子特殊的环(整环/除环/域)2环的定义定义1设(R,+,·)是代数系统,+和·:(1)(R,+)构成交换群;(2)(R,·)构成半群;(3)·运算关于+运算满足左、右分配律;则称(R,+,·)+运算为环中的加法,·,乘法单位元(如果存在),称x的加法逆元为负元,记作,则称之为逆元,记作x(R,+,·)是有限环,(R,+,·)是环,(1)若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环或可换环.(2)若环中乘法·存在单位元,(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数环Q,实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn={[0],[1],...,[n-1]},和分别表示模n的加法和乘法,则(Zn,,)构成环,(R,+,·)是环,则(1)a∈R,a0=0a=0;(2)a,b∈R,(a)b=a(b)=ab;(3)a,b,c∈R,a(bc)=abac,(bc)a=baca;(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2).环的运算性质6性质1设(R,+,·)是环,则(1)a∈R,a0=0a=0;(2)a,b∈R,(a)b=a(b)=(ab)=ab;环的运算性质证(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0==0.(2)a,b∈R,有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0(a)(a)b=(b)=,b1,b2,...,bm有(4)证明思路:用归纳法证明a1,a2,...,an有于是证明(4)性质1设(R,+,·)是环,则(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2).8大家有疑问的,可以询问和交流可以互相讨论下,但要小声点9实例例2在环中计算(a+b)3,(ab):(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b210