定积分的计算.pdf

高等数学高等数学( 提高班) 授课教师李晓沛 Tel ********** 第五章定积分第五章第五章定积分定积分第三节定积分的换元法和分部积分法第三节第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 d 22 ?? xxa . 2 arcsin 2 22 2 C xax a xa ?????? 22 d ax x . | |ln 22 Caxx???? . )0( d ???? ax xa xa ? xx x ln d .|ln | ln C x ??? xxdsec .|sectan | ln C xx ??? . arcsin 22 Cxa a x a ???? dxx ? ln C xxx ??? ln . os ? xx .arctan ? xdx x .)arctan( 2 1 arctan 2 2 Cxxx x ???? .1 os 2 C x x x ???? Cxxx??? 2 1 arcsin ?? darcsinxx 由牛顿——莱布尼兹公式,可以通过不定积分来计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步: 先计算相应的不定积分,然后再运用牛顿——莱布尼兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦,我们希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式有机地结合起来,构成定积分自身的计算方法——定积分的换元法和定积分的分部积分法. 一. 利用不定积分计算定积分例 1 解 . d1 1 0 2 ?? xx 计算数的一个原函数: 先用不定积分求被积函???? ttx xdcosd1 2 2 sin t x ?令 ttd)2cos1 ( 2 1 ??? C t t ??? 4 2sin 2 Cxxx???? 2 1 2 1 arcsin 2 1 得, —莱布尼兹公式—由牛顿 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 d1 1 0 2 1 0 2 ????????????? xxx xx 例 1 解 . d1 1 0 2 ?? xx 计算数的一个原函数: 先用不定积分求被积函???? ttx xdcosd1 2 2 sin t x ?令 ttd)2cos1 ( 2 1 ??? C t t ??? 4 2sin 2 Cxxx???? 2 1 2 1 arcsin 2 1 得, —莱布尼兹公式—由牛顿 . 4 1 2 1 arcsin 2 1 d1 1 0 2 1 0 2 ????????????? xxx xx 10 ?? x 2 0 ??? t ???? 2 0 2 1 0 2 dcosd1 ? ttx x ttd)2cos1 ( 2 1 2 0 ???? 2 0 4 2sin 2 ????????? tt . 4 ??有什么想法没有? 就是说,计算定积分时可以使用换元法. 换元时只要同时改变积分的上、下限,就不必再返回到原来的变量,直接往下计算并运用牛顿——莱布尼兹公式便可得到定积分的结果. 定理 ;)] ,[ () ( ) 1 ( baC x f ?设且单调; ) ] ,[ () ( ) 2 ( 1 ??? Ctx ??, , b a ??)( ) ( ) 3 ( ???? . d)()) ( (d ) ( ???????? tttfx x f b a 则定积分的换元法应用换元公式时应注意: ( 1 ) 求出)()]( [ t t f ???的一个原函数)( t ?后, 不必象计算不定积分那样再要把)( t ?变换成原变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入)( t ?然后相减就行了. ( 2 ) 用)( t x ??把变量 x 换成新变量 t 时,积分限也相应的改变. 例 2 解 . 1 d 5 3 2 1 2 ??xx x 计算 d d 1 2 , ,则令 t t x t x ??? 3 5 2 : 5 3 2 1 : ,故时, 且?? t x ?????? 3 5 2 2 5 3 2 1 2 1 d 1 d t t xx x ??? 2 3 5 2 1 d t t 2 3 5 2 |1| ln ???tt . 3ln) 32 ln( ???