非线性规划.ppt

第三章非线性规划例3-,宽为b,把两边折起做成槽。为使槽的截面积最大,x1和x2及β各为多少?目标函数约束条件bx2x1若目标函数和(或)约束条件是非线性的。这样的规划问题称非线性规划问题。非线性规划问题分为无约束和有约束问题两种,对有约束非线性规划,可以将其化为无约束非线性规划求解。解无约束非线性规划问题通常有:直接法——直接利用目标函数进行比较、搜索、逐步逼近问题的解。解析法——求导数或与导数有关的分析得到问题的解。§3-1函数的凸性非线性规划的最优解一般并不在可行域的极点上,而且有时也不在可行域的边界上。我们得到的非线性问题的解一般都是局部最优解,通常要求的是全局的最优解。,满足的的集合,叫做的邻域,记为。若在n维空间域D内存在一点X*,且对D内的N(X*)中的任意X,都有:若有:则称为严格局部极小点,为严格局部极小值。若有:其中为中的任意点,则称为的全局极小点,称为全局极小值。(3-1)则称X*为f(X)的(非严格)局部极小点,并称f(X*)为局部极小值。:(3-2)如一维的凸函数有:则称为定义在凸集上的一个凸函数。设为定义在维欧氏空间中一个凸集上的函数。若对任何实数及域中任意两点,恒有:则称为定义在凸集上的一个严格凸函数。若(3-3)则称为定义在凸集上的一个凹函数。则称为定义在凸集上的一个严格凹函数。如凹函数有:若(3-4)若(3-5)只有一个局部极值的函数是单峰函数。0abcxf(x)显然所有凸(或凹)函数都是单峰函数,反之不成立!!如左图,显然是单峰函数,但在区间是凸函数,在区间是凹函数。定理3-1设为定义在凸集上的一个凹函数,且有局部极大点,则在具有全局极大值。证明同理:设为定义在凸集上的一个凸函数,且有局部极小点,则在具有全局极小值。定理3-2设为定义在凸集上的一个函数,为内部的一个凸集。若在上有连续的二阶偏导数,则在凸集上为凸函数的充要条件为:对于任意的不等式(3-6)恒成立证明定理3-3若定义在开凸集上函数且有连续的二阶偏导数,则在凸集上为凸函数的充要条件:对所有,海森(Hessian)矩阵为半正定。函数的Hessian阵:证明