H∞控制器的设计.doc

一、H∞控制器的设计(一)H∞状态反馈控制器设计思路图2-1广义系统针对如上图所示的广义系统,P(s)是一个线性时不变系统,其状态方程可以用下面的式子描述:xAxB11Bu12zCx1D11Du122-1yC2xD21Du22其中:nxR是状态向量,muR是控制输入,pyR是测量输出,zRr是被调输出,qR是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况下,设计一个控制器u(s)K(s)y(s),使得闭环系统满足:(1)闭环系统内部稳定;(2)从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系:T(s)1wz2-2满足这样性质的控制器称为系统的一个H控制器。通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数,可以使得闭环系统具有给定的H性能γ,即使得Twz(s)γ的H控制问题转化为使得Twz(s)1的标准H控制问题。称具有给定H性能γ的H控制器为系统P(s)的γ-次优H控制器。进一步可以通过对γ的搜索,可以求取使得闭环系统的扰动抑制度γ最小化的控制器。对于上面给出的系统,令D21、D22为零矩阵,C2为单位阵,那么就形成了一个状态反馈控制系统。对于这个系统,如果可以设计一个静态反馈控制器u(s)K(s)x(s),使得系统闭环稳定,并且满足从扰动到被调输出的传递函数为:1Twz(s)(C1DK)[sI(AB)]B11D1112-31212那么,我们称这样的反馈控制器为系统P(s)的一个状态反馈H控制律。定理对于系统P(s),存在一个状态反馈H控制器,当且仅当存在一个对称正定矩阵X和W,使得以下矩阵不等式成立:AXBW(12AXBW12T)B11(CX1DW12T)TB11ITD1102-4CX1DW12D11I成立,而且,如果上面的矩阵不等式存在一个可行解W*、X*,则有1KW*(X*)为系统的状态反馈H控制矩阵。对于次优控制问题,通产可以进行一下变换:Twz(s)γγwz()12-5-1Ts将原模型中的C、D、D替换为11112111C、D、D,则得到新的状态反11112馈次优控制器对应的矩阵不等式:AXBW(12AXBW12T)B11-1(CX1DW12T)TB11I-1TD1102-6-1CX1DW12-1D11I为了计算方便,在上式的左右两边分别乘以diag{I,I,I},则得到如下式子:AXBW(12AXBW12T)B11(C1XDW12T)TB11ITD1102-7CX1DW12D112I求解该不等式即可得到系统状态反馈γ-次优H控制器求解该不等式,即可得到系统状态反馈γ-次优H控制器。这样,γ-次优H控制器存在的条件下(LMI可解),通过建立和求解以下优化问题即可得到γ-次优H控制器:minTTAXBW(AXBW)B(CXDW)121211112TTBID111102CXDWDI11211X0下面利用状态反馈进行γ-次优H控制器的设计。(二)系统矩阵下面给出系统的各个矩阵:010001023**********A,B,B11120001130234001102111421231122414C,D,D