成考专升本高等数学(二)重点及解析.doc

高等数学(二)重点知识及解析(占80分左右)Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数):(1)常值函数:(2)幂函数:(3)指数函数:(〉0,(4)对数函数:(〉0,(5)三角函数:,,,(6)反三角函数:,,,二、复合函数:要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如:是由,:是由,!三、极限的计算1、利用函数连续性求极限(代入法):对于一般的极限式(即非未定式),只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值,即。注意:(1)常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关,即。(2)该方法的使用前提是当的时候,而时则不能用此方法。例1:,,,,例2:例3:(非特殊角的三角函数值不用计算出来)2、未定式极限的运算法(1)对于未定式:分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。例1:计算.………未定式,提取公因式解:原式=例2:计算.………未定式,提取公因式解:原式===(2)对于未定式:分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1:计算………未定式,分子分母同时除以n解:原式………无穷大倒数是无穷小例2:计算.………未定式,分子分母同除以解:原式==………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限(1)定义:设和是同一变化过程中的两个无穷小,如果=1,称与是等价无穷小,记作~.(2)定理:设、、、均为无穷小,又~,~,且存在则=或(3)常用的等价无穷小代换:当时,~,~例1:当时,~2,~例2:极限===………用2等价代换例3:极限==………用等价代换Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号(1)函数在点处的导数记作:,或(2)函数在区间(a,b)的导数记作:,或二、求导公式(必须熟记)(1)(C为常数)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例:1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四则运算运算公式(设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.)(1)(2)特别地(为常数)(3)例1:已知函数,:===例2:已知函数,:===所以=(注意:lne=1,ln1=0)例3:已知函数,:===四、复合函数的求导1、方法一:例如求复合函数的导数.(1)(2)=,=2(3)每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数;注意中间变量要用原变量替代回去.∴=2=22、方法二(直接求导法):复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉,对复合函数的过程清楚,:设函数,:==·=·=例2:设函数,:==·=注意:一个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作:,、求法:(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导例1:已知,:∵=,∴=例2:已知,:∵==,∴=2=4即=六、微分的求法:(1)求出函数的导数.(2):已知,:∵====∴=例2:设函数,:∵==∴=Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义:由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数。其自变量的变化围称为定义域,通常记作。例如:二元函数通常记作:,二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法:(1)设二元函数,则函数在区域D对和对的偏导数记为:,,;,,(2)设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记为:,,;,,;2、偏导数的求法(1)对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,直接对求导即可.(2)对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,,:已知函数,:=,=例2:已知函数, :=,=三、全微分1、全微分公式:函数在点处全微分公式为:2、全微分求法:(1)、先求出两个一阶偏导数和.(2)、:设函数,:∵=,=∴例2:设函数,:∵=,=∴四、二阶偏导的表示方法和求法:(1)===……两次都对求偏导(2)===……先对求偏导,再对求偏导(3)====……先对求偏导,再对求偏导(4)===……两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种,它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序(写在符号前面的变量先求偏导).例1: