数列中的奇数项和偶数项问题.doc

1设数列{an}的首项a1=a≠,且,记,n==l,2,3,…·.(I)求a2,a3;(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;解:(I)a2=a1+=a+,a3=a2=a+;(II)∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:{bn}是公比为的等比数列·证明如下:因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a-,公比为的等比数列·2在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.(Ⅰ)证明成等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(I)证明:由题设可知,,,,,。从而,所以,,成等比数列。(II)解:,得,,。设为数列的前项和,,,其中是常数.(I)求及;(II)若对于任意的,,,成等比数列,:(Ⅰ)当,()经验,()式成立,(Ⅱ)成等比数列,,即,整理得:,对任意的成立,(2009文)(本小题共13分):对于正整数m,是使得不等式成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若,求数列的前2m项和公式;(Ⅲ)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q的取值围;如果不存在,请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、.(Ⅰ)由题意,得,解,得..∴成立的所有n中的最小整数为7,即.(Ⅱ)由题意,得,对于正整数,由,,;当时,.∴.(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式及得.∵,根据的定义可知,对于任意的正整数m都有,(或)时,得(或),这与上述结论矛盾!当,即时,得,解得.∴存在p和q,使得;p和q的取值围分别是,..已知数列和满足:,其中为实数,为正整数.(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设,,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值围;若不存在,、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,{an}不是等比数列.(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·(an-3n+21)=-bn又b1x-(λ+18),所以当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:当λ≠-18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)·(-)n-1,于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立,即a<-(λ+18)·[1-(-)n]〈b(n∈N+)①当n为正奇数时,1<f(n)∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,