高等数学在实际生活中的应用.doc

高等数学知识在实际生活中的应用(4)对模型进行分析、检验和修改。建立模型后,要对模型进行分析,即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果,将此结果与实际问题进行比较,以验证模型的合理性。一般地,一个模型要经过反复地修改才能成功。(5)模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象,并预测未来的发展趋势,以便给人们的决策提供参考。归纳起来,数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明:问题假设建模分析应用检验、修改图1(二)数学建模的范例例教室的墙壁上挂着一块黑板,学生距离墙壁多远,能够看得最清楚?这个问题学生在实际中经常遇到,凭我们的实际经验,看黑板上、下边缘的视角越大,看得就会越清楚,当我们坐得离黑板越远,看黑板上、下边缘的视角就会越小,自然就看不清楚了,那么是不是坐得越近越好呢?先建立一个非常简单的模型:-1模型1:先对问题进行如下假设:(不是阶梯教室),黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a米和b处。。设学生D距黑板米,视黑板上、下边缘的的仰角分别为。由假设知:所以,当且仅当时,最大,从而视角最大。从结果我们可以看出,最佳的座位既不在最前面,也不在最后面。坐得太远或太近,都会影响我们的视觉,这符合我们的实际情况。-2下面我们在原有模型的基础上,将问题复杂一些。模型2:设教室是一间阶梯教室,-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面,与水平面成角,以黑板所在直线为轴,以水平线为轴,建立坐标系(-2)。则直线OE的方程(除原点)为:若学生D距黑板的水平距离为,则D在坐标系中的坐标为,则:所以设,要使最大,只要最小就可以了。对求导得:当时,,则随的增大而增大;当时,,则随的增大而减小,由因为是连续的,所以当时,取最小值,也就是时,学生的视角最大。通过这两个模型,我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的,只是因为假设的教室的环境不同,建立的模型有些细微差别,所以结果不同,但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中,我们只考虑了一个因素,那就是视角,其实我们还可以考虑更多的因素,比如:前面学生对后面学生的遮挡,学生看黑板的舒适度(视线与水平面成多少度角最舒服),等。我们考虑的因素越多,所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话,解题过程就会相当繁琐,有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析,在众多的因素中抓住主要矛盾,作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际,又要力求计算简便。二、矩阵在实际生活中的应用(一)有关矩阵的乘法矩阵A=与=相乘=====(二)矩阵应用的范例—人口流动问题例假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若