高等数学论文.doc

高数课程论文课程名称:高等数学下册单位:合肥学院计科系姓名:张玉东学号:1104011022二重积分的计算方法摘要:在工程和科技领域中,往往需要计算定义在某范围上的多元函数的特定形式和式的极限,这就需要用到重积分的计算方法。重积分包括二重积分与三重积分,而二重积分在高等数学中占有特殊的地位,我们可以通过用极坐标,改变积分次序,变量替换等方法来计算二重积分。关键字:二重积分极坐标积分次序变量替换正文:直接用定义计算二重积分是相当困难的,我们可以从二重积分的几何意义出发,分别在直角坐标系与极坐标系中讨论二重积分的计算方法。直角坐标系下的二重积分的计算1、型区域设积分区域由两条直线与两条连续曲线(且)所围成,即为型区域。则:称之为先对再对的累次积分。例1、求解:另解:2、型区域设积分区域是由两条直线与两条连续曲线(且)所围成,即为型区域。则:称之为先对再对的累次积分。例2、计算二重积分其中是抛物线与直线所围成的区域。解:画出积分区域如图,并求边界曲线的交点(1,-1)及(4,2),由图可见,先积(内积分)后积(外积分)较为简便。由定限示意图得:=3、若既不是型也不是型,先将分割成若干个型或型,,、、、、、、、、、、、、注1由上得直角坐标系下的二重积分一般的计算步骤:第一步画出积分区域的图形,并求出的边界曲线的交点坐标(若有的话);第二步选择积分次序。其原则为:第一次积分容易,并能为第二次积分创造条件;对划分的块数越少越好;第三步确定积分限。定限口诀为:后积先定限(将投影到后积分的相应坐标轴上,得出积分的上、下限为两个常数),限内划条线(与先积分相应的坐标轴平行同向);先交下限写(先交的写在积分的下限),后交上限见(后交的写在积分上限);第四步计算二次积分。积分次序的变换:第一步由所给的二次积分的上,下限列出表示积分区域的不等式组;第二步由表示的不等式组画出的图形;第三步由的图形将视为另一型区域,写出相应的不等式组;第四步由表示的不等式组得出改变了次序的二次积分。极坐标下的二重积分的计算极点在积分区域的外面设积分区域在极坐标下由两条曲线,及两条射线所围成,因此,则:例3、解:在极坐标下圆的方程为直线方程为则