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2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题车灯线光源的优化设计参考答案注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。一. 假设和简化(略)二. 模型的建立建立坐标系如下图, 记线光源长度为 l, 功率为 W, B,C 点的光强度分别为)(lh B W和)(lh C W, 先求)(lh B 和)(lh C 的表达式,再建立整个问题的数学模型. 以下均以毫米为单位,由所给信息不难求出车灯反射面方程为 60 22yxz ??,焦点坐标为( 0,0,15 )。 1) 位于点 P(0, w,15) 的单位能量的点光源反射到点 C(0, 2600, 25015) 的能量设反射点的坐标为 Q)60 ,,( 22yxyx ?. 记入射向量为 a ?, 该点反射面外法线方向为 b ?, 不难得到反射向量 c ?满足. 2 2bb baac ?????????记222yxr??,由)1,30 /,30 /( ),15 60 ,,( 2?????yxb rwyxa??从而得),,( ??的表达式)900 (60 810000 3600 1800 900 )900 2( 900 2 2 24 2 22 2???????????r wy rrc r rywc r xyw c z y x 注意到反射光通过 C点, 应有60 /25015 ,2600 , 2r kc y kc x kc z y x?????? PQb A CB0 ca zy x 其中 k 为常数. 从上述第一式可解得 0?x 或 wy rk2 900 2???. 由此得反射点坐标满足以下两组方程: ??????????????????????????? 2 2 345900 5200 )2600 (13 3750 .02106000000 1350810000 )810000 9360000 ()4680000 1498200 (1800 )2600 ( 0yyx w wy w ywywyywy x 通过计算可知, 存在56 .1 0?? Cw ,当Cww 0?时第一组方程不存在满足 2236 ?r 的实根, 即无反射点. 而当 Cww 0?时, 有两个反射点 2,1 ),60 /,,0( 2?iyyQ iii . 而第二组方程仅当 5609 .1 8119 .3????w 时存在满足 2236 ?r 的一对实根, 即有两个反射点),60 ,,( 22yxyx ??记为 43,QQ . 若反射点的坐标为),,(zyxQ , 则位于点)15 ,,0(wP 的单位能量点光源经 Q 点反射到 C 点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为24 cos PQ L???其中2222)15 60 /()(?????rwyx PQ 而?为反射向量与 z 轴的夹角,. 60 /25015 cos 2 QC r??? 2))( ),(lhlh CB 的表达式长l 的具有单位能量的线光源位于点)15 ,,0(wP 的长 dw 的微小线光源段反射到 C 点的能量密度为,/)()( 41lwfwE i i???其中????????????????????????4,3,]5609 .1, 8119 .3[,0 ]5609 .1, 8119 .3[,4 cos )( 2,1,],